Proposition : Existence et Unicité de la Base Duale Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension $n$, et soit $\beta = (e_1, e_2, \dots, e_n)$ une base quelconque de $E$. Pour chaque indice $i \in… 

Définition : Espace Vectoriel Dual Soit $E$ un K-espace vectoriel. On appelle espace vectoriel dual de $E$, noté $E^*$, l’espace vectoriel de toutes les formes linéaires sur $E$. On a donc : $$ E^* =… 

Définition : Forme Linéaire Soit $E$ un K-espace vectoriel. Une forme linéaire sur $E$ est une application linéaire de $E$ vers son corps de scalaires $K$. Remarque Rappelons qu’un sous-espace vectoriel $H$ de $E$ est… 

Exercices Corrigés : Matrices et Applications Linéaires de Matrices Exercice 1 Soit $K$ un corps commutatif et $\mathcal{H} = Vect(\{AB-BA \mid (A,B) \in (\mathcal{M}_n(K))^2\})$. Montrer que pour tous $i \neq j$, la matrice élémentaire $E_{ij}$… 

Exercices Corrigés : Projecteurs Exercice 1 Soit $u$ un projecteur d’un K-espace vectoriel $E$. Démontrer les affirmations suivantes : $Id_E – u$ est également un projecteur. $Im(u) = Ker(Id_E – u)$. $E = Ker(u) \oplus… 

Exercices Corrigés : Rang et Théorème du Rang Exercice 1 Soient $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie, $F$ un K-espace vectoriel quelconque et $f: E \to F$ une application linéaire. Démontrer que : a)… 

Exercices Corrigés : Applications Linéaires Exercice 1 Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$. Soient $F_1, F_2, \dots, F_k$ des sous-espaces vectoriels de $E$ avec $k \ge 2$. Démontrer que si $\sum_{j=1}^{k} \dim(F_j)… 

Rang d’une Application Linéaire et d’une Matrice Définition et Propriétés de Base Rappelons qu’une matrice $A \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ peut être interprétée comme une application linéaire de $K^n$ dans $K^m$ via $X \mapsto AX$. Le rang… 

Changement de Base Considérons un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$, et deux bases de cet espace, $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ et $\beta’ = (e’_1, \dots, e’_n)$. Chaque vecteur de la « nouvelle » base… 

Définition : Matrice d’une Application Linéaire Soient $E$ and $F$ deux K-espaces vectoriels de dimensions finies, munis respectivement des bases $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ et $\beta’ = (e’_1, \dots, e’_m)$. Soit $f: E \to…