Théorème Fondamental de l'Analyse Contexte : Dérivation et Intégration Le calcul différentiel et le calcul intégral ont été développés historiquement pour résoudre des problèmes a priori distincts : La dérivation…
Loi d'Inertie de Sylvester Contexte : Réduction des Formes Quadratiques Soit $q$ une forme quadratique sur un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$. Le théorème sur l'existence de bases…
Règle de Cramer Contexte : Systèmes de Cramer Considérons un système de $n$ équations linéaires à $n$ inconnues, écrit sous forme matricielle : $$ AX = B $$ Un tel…
Théorème de la Décomposition de Jordan Contexte : Au-delà de la Diagonalisation Un endomorphisme $u$ d'un espace vectoriel $E$ est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé…
Théorème de la Décomposition en Valeurs Singulières (SVD) Contexte : Diagonalisation et Matrices Rectangulaires Le théorème spectral nous apprend que les matrices symétriques (ou hermitiennes) sont diagonalisables dans une base…
Théorème Spectral Version Réelle (pour les Espaces Euclidiens) Contexte Soit $E$ un espace euclidien (un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire) et $u$ un endomorphisme de $E$.…
Théorème de Cayley-Hamilton Contexte : Polynômes d'Endomorphismes et Polynôme Caractéristique Soit $u$ un endomorphisme d'un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie (ou $A$ une matrice carrée). Polynôme d'endomorphisme : Pour…
Théorème de Rouché-Fontené Contexte : Systèmes d'Équations Linéaires Considérons un système de $m$ équations linéaires à $n$ inconnues, qui peut s'écrire sous forme matricielle : $$ AX = B $$…
Théorème du Rang Contexte : Noyau, Image et Rang Soit $f: E \to F$ une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels. Le noyau de $f$, noté $Ker(f)$, est le sous-espace…
Théorème de la Base Incomplète Contexte : Familles Libres et Génératrices Dans un espace vectoriel, une famille libre est un ensemble de vecteurs dont aucun ne peut s'écrire comme une…