Exercices Corrigés : Suites de Nombres Réels Exercice 1 En utilisant la définition de la limite, montrer que : 1) $\lim_{n\to+\infty}\frac{3n-1}{2n+3}=\frac{3}{2}$ 2) $\lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}=0$ 3) $\lim_{n\to+\infty}\frac{2\ln(1+n)}{\ln n}=2$ 4) $\lim_{n\to+\infty}3^n=+\infty$ 5) $\lim_{n\to+\infty}\frac{-5n^2-2}{4n}=-\infty$…
Exercices Corrigés : Nombres Complexes Exercice 1 Écrire sous forme algébrique puis exponentielle les nombres complexes suivants : $z_1 = \frac{2+2\sqrt{3}i}{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}$, $z_2 = \left(\frac{\sqrt{3}+i}{8i}\right)^{2}$, $z_3 = \left[\frac{1+i-\sqrt{3}(1-i)}{1+i}\right]^{2}$, $z_4 = \frac{(1+i)^{4}}{(\sqrt{3}-i)^{3}}$.…
Exercices Corrigés : Le Corps des Nombres Réels Exercice 1 1. Montrer les inégalités suivantes : a) $|x|+|y| \le |x+y|+|x-y|$, pour tous $x, y \in \mathbb{R}$. b) $\sqrt{x+y} \le \sqrt{x}+\sqrt{y}$,…
Chapitre 7 : Courbes Paramétrées Définition Définition : Courbe Paramétrée Soient $f$ et $g$ deux applications définies sur un même sous-ensemble $I$ de $\mathbb{R}$. Lorsque la variable $t$ parcourt $I$,…
Calcul des Coefficients d'une Décomposition par les Développements Limités Lors de la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle, le calcul des coefficients peut parfois être laborieux. Les développements limités…
Applications des Développements Limités Calculs des Limites Lorsque les théorèmes généraux sur les limites aboutissent à une forme indéterminée, l'utilisation des développements limités (D.L.) est une technique très efficace pour…
Développements Limités Généralisés Soit $f$ une fonction définie au voisinage de zéro. Si $f$ n'admet pas de limite finie en 0, elle ne peut pas avoir de développement limité standard.…
Opérations Avancées sur les Développements Limités Intégration d’un Développement Limité Si une fonction $f$ est dérivable sur un voisinage de zéro et si sa dérivée $f'$ admet un développement limité…
Opérations sur les Développements Limités Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant des développements limités (D.L.) d'ordre $n$ au voisinage de 0 : $$ f(x) = P(x) + x^n\epsilon_1(x) $$…
Développements Limités Usuels Développements Limités Usuels au Voisinage de 0 Les développements limités suivants, obtenus par la formule de Taylor-Maclaurin, sont fondamentaux pour les calculs de limites et d'équivalents. Dans…