Algèbre linéaire et bilinéaire

Matrice d’une Forme Sesquilinéaire Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $f$ une forme sesquilinéaire sur $E$, et $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$. Pour tout couple de vecteurs $(x,y) \in E \times E$, avec $x = \sum x_i e_i$ et $y = \sum y_j e_j$, la sesquilinéarité nous permet…

Formes Sesquilinéaires et Formes Hermitiennes Quelques rappels sur les nombres complexes Rappels Pour tout nombre complexe $z = a+ib$ (avec $(a,b) \in \mathbb{R}^2$), on rappelle les définitions et identités suivantes : Conjugué : $\bar{z} = a-ib$. Partie réelle : $Re(z) = a = \frac{z+\bar{z}}{2}$. Partie imaginaire : $Im(z) = b = \frac{z-\bar{z}}{2i}$. Module : $|z|…

Exercices Corrigés : Endomorphismes d’un Espace Euclidien Exercice 1 Soient $E$ un espace préhilbertien, et $u, v: E \to E$ deux applications telles que $\forall x, y \in E, \langle u(x), y \rangle = \langle x, v(y) \rangle$. Montrer que $u$ et $v$ sont des endomorphismes linéaires et que $v=u^*$. Solution 1 Pour montrer la…

Décomposition Polaire et Décomposition QR Décomposition Polaire On note $S_n^+(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices réelles symétriques positives, et $S_n^{++}(\mathbb{R})$ celui des matrices réelles symétriques définies positives. Proposition : Racine Carrée d’une Matrice Symétrique Positive Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Les propositions suivantes sont équivalentes : $A$ est une matrice symétrique positive. Il existe une matrice…

Endomorphismes Orthogonaux Définition et propriétés de base Définition : Endomorphisme Orthogonal Soit $E$ un espace euclidien. Un endomorphisme $u$ de $E$ est dit orthogonal (ou une isométrie vectorielle) s’il conserve le produit scalaire, c’est-à-dire : $$ \forall x, y \in E, \quad \langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, y \rangle $$ Proposition : Caractérisations…

Formes Bilinéaires Symétriques d’un Espace Euclidien Proposition : Association entre Endomorphisme et Forme Bilinéaire Soit $E$ un espace euclidien, $u$ un endomorphisme symétrique de $E$, et $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ une base orthonormale de $E$. L’application $f: E \times E \to \mathbb{R}$ définie par : $$ \forall (x,y) \in E \times E, \quad f(x,y)…

Endomorphismes Symétriques : Définitions et Propriétés Définition : Endomorphismes Symétriques et Antisymétriques Soit $E$ un espace euclidien et $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que $u$ est symétrique (ou autoadjoint) s’il est égal à son propre adjoint : $u^* = u$. On dit que $u$ est antisymétrique si son adjoint est son opposé :…

Symétrie Orthogonale : Définitions et Propriétés Symétrie suivant une Direction Définition : Symétrie Vectorielle Soit $E$ un K-espace vectoriel, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires ($E = F \oplus G$). La symétrie par rapport à F parallèlement à G est l’application $s : E \to E$ qui à un vecteur $x = x_1…

Distance d’un Point à un Sous-espace Vectoriel Définition : Distance d’un Point à un Ensemble Soit $(E, \| \cdot \|)$ un espace vectoriel normé, $x$ un vecteur de $E$ et $A$ une partie non vide de $E$. On définit la distance de x à A, notée $d(x, A)$, comme la borne inférieure des distances entre…

Projections et Projections Orthogonales Projection suivant une Direction Définition : Projection Soient $E$ un K-espace vectoriel, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, et $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$ (tel que $E = F \oplus G$). On appelle projection sur F parallèlement à G l’application $p: E \to E$ qui à tout vecteur $x…