Topologie

Topologie Engendrée par une Base Topologie Engendrée par une Base L’un des principaux avantages de la notion de base est sa capacité à construire une topologie à partir d’une collection de parties, sans avoir à vérifier les axiomes sur une infinité d’ensembles. On parle alors de la topologie « engendrée » par cette base. Définition : Topologie…

Définition d’une Base de Topologie Base d’une Topologie Définir une topologie en listant tous ses ouverts peut être fastidieux, voire impossible si l’ensemble est infini. La notion de base de topologie permet de simplifier ce processus en ne décrivant qu’une collection « génératrice » d’ouverts. Tous les autres ouverts pourront alors être obtenus par union des éléments…

Topologie sur un Ensemble Fini Topologie sur un Ensemble Fini L’étude des topologies sur des ensembles finis est un excellent moyen de manipuler les axiomes de définition et de comprendre comment la structure d’un espace peut varier. Contrairement à la topologie usuelle sur $\mathbb{R}$, les « ouverts » peuvent ici être des ensembles finis, voire des singletons….

Ensembles à la fois Ouverts et Fermés Ensembles à la fois Ouverts et Fermés En topologie, les notions d’ « ouvert » et de « fermé » ne sont pas mutuellement exclusives comme on pourrait le penser intuitivement. Un ensemble peut parfaitement être les deux à la fois. De tels ensembles sont parfois appelés « clopen » (mot-valise anglais pour closed-open)….

Stabilité par Union et Intersection Stabilité par Union et Intersection Les deuxième et troisième axiomes d’une topologie sont des règles de stabilité. Ils garantissent que les opérations d’union et d’intersection, appliquées aux ensembles ouverts, produisent encore des ensembles ouverts. C’est ce qui donne sa cohérence à la structure. Stabilité par Union Quelconque Axiome 2 :…

Axiomes de Définition d’une Topologie Axiomes de Définition d’une Topologie Pour parler d’ouverts, de fermés, de voisinages ou de continuité, il faut d’abord définir un cadre. Ce cadre est l’espace topologique. Il est défini par un ensemble $X$ et une collection de ses parties, appelée topologie, qui doit respecter trois règles fondamentales (les axiomes). Ces…

Topologies Discrète et Grossière Topologies Discrète et Grossière Pour n’importe quel ensemble $X$, il existe deux topologies « extrêmes » que l’on peut définir. Elles sont fondamentales car elles représentent le plus grand et le plus petit nombre possible d’ouverts, servant ainsi de points de référence pour comparer d’autres topologies. La Topologie Discrète La topologie discrète est…

Définition du Voisinage d’un Point Voisinage d’un Point La notion de voisinage est centrale en topologie. Elle permet de formaliser l’idée intuitive d’être « proche » ou « autour » d’un point. Un ensemble est un voisinage d’un point s’il contient un ouvert qui entoure ce point. Définition : Voisinage d’un Point Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique et…

Propriétés des Ensembles Fermés Propriétés des Ensembles Fermés Les propriétés des ensembles fermés se déduisent directement de celles des ouverts en utilisant les lois de De Morgan sur le passage au complémentaire. Elles constituent une vision « duale » des axiomes de la topologie. Proposition : Propriétés Fondamentales des Fermés Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique. La…

Propriétés des Ensembles Ouverts Rappel des Axiomes de la Topologie Les propriétés fondamentales des ensembles ouverts découlent directement des trois axiomes qui définissent une topologie $\mathcal{T}$ sur un ensemble $X$. Ces axiomes ne sont pas des conséquences, mais bien le point de départ de toute la théorie. Ils constituent la « règle du jeu » que les…