Auteur/autrice : zu6vi

Exercices Corrigés : Développement Limité Exercice 1 Calculer $e^{1/6}$ et $\ln(4/3)$ à $10^{-3}$ près. Solution 1 1. On utilise la formule de Taylor-Lagrange pour $e^x$ en 0. L’erreur est majorée par $\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}e^c$. Pour $x=1/6$, l’erreur est inférieure à $\frac{2}{(n+1)!6^{n+1}}$. On choisit $n=3$ pour que cette erreur soit inférieure à $10^{-3}$. On obtient $e^{1/6} \approx 1…

Exercices Corrigés : Dérivabilité Exercice 1 1. Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes au point $x_0$ indiqué : a) $f(x) = \begin{cases} xe^{1/x} & \text{si } x < 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \\ x^2\ln(1+1/x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$ en $x_0=0$. b) $g(x) = \begin{cases} \arctan x &…

Exercices Corrigés : Fonctions Réelles d’une Variable Réelle Exercice 1 Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : a) $f(x) = \sqrt{x^2-4x+3}$ b) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2-4x+3}$ c) $f(x) = \frac{5x+4}{x^2+3x+2}$ Solution 1 a) $D_f = ]-\infty, 1] \cup [3, +\infty[$ (le trinôme doit être positif). b) $D_f = [0, 1[ \cup ]3, +\infty[$ (le…

Exercices Corrigés : Suites de Nombres Réels Exercice 1 En utilisant la définition de la limite, montrer que : 1) $\lim_{n\to+\infty}\frac{3n-1}{2n+3}=\frac{3}{2}$ 2) $\lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}=0$ 3) $\lim_{n\to+\infty}\frac{2\ln(1+n)}{\ln n}=2$ 4) $\lim_{n\to+\infty}3^n=+\infty$ 5) $\lim_{n\to+\infty}\frac{-5n^2-2}{4n}=-\infty$ 6) $\lim_{n\to+\infty}\ln(\ln n)=+\infty$ Solution 1 1) On veut $|\frac{3n-1}{2n+3}-\frac{3}{2}| < \epsilon \iff \frac{11}{4n+6} < \epsilon \iff n > \frac{11-6\epsilon}{4\epsilon}$. Il suffit de prendre $n_\epsilon =…

Exercices Corrigés : Nombres Complexes Exercice 1 Écrire sous forme algébrique puis exponentielle les nombres complexes suivants : $z_1 = \frac{2+2\sqrt{3}i}{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}$, $z_2 = \left(\frac{\sqrt{3}+i}{8i}\right)^{2}$, $z_3 = \left[\frac{1+i-\sqrt{3}(1-i)}{1+i}\right]^{2}$, $z_4 = \frac{(1+i)^{4}}{(\sqrt{3}-i)^{3}}$. Solution 1 $z_1 = \sqrt{2} + i\frac{\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{6}}$ (Erreur dans le corrigé original, le résultat est $\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{6}}$) $z_2 = \frac{1}{32}(2-i\sqrt{3})$ (Erreur…

Exercices Corrigés : Le Corps des Nombres Réels Exercice 1 1. Montrer les inégalités suivantes : a) $|x|+|y| \le |x+y|+|x-y|$, pour tous $x, y \in \mathbb{R}$. b) $\sqrt{x+y} \le \sqrt{x}+\sqrt{y}$, pour tous $x, y \in \mathbb{R}^+$. c) $|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \sqrt{|x-y|}$, pour tous $x, y \in \mathbb{R}^+$. 2. Soit $[x]$ la partie entière de $x$. Montrer…

Chapitre 7 : Courbes Paramétrées Définition Définition : Courbe Paramétrée Soient $f$ et $g$ deux applications définies sur un même sous-ensemble $I$ de $\mathbb{R}$. Lorsque la variable $t$ parcourt $I$, le point $M(t)$ de coordonnées $(f(t), g(t))$ décrit un sous-ensemble $(C)$ du plan. L’ensemble $(C)$ est appelé une courbe plane. L’application $M: t \mapsto M(t)$…

Calcul des Coefficients d’une Décomposition par les Développements Limités Lors de la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle, le calcul des coefficients peut parfois être laborieux. Les développements limités offrent une méthode efficace pour déterminer la partie polaire associée à un pôle, en particulier le pôle 0. Exemple 1 Décomposons la fraction rationnelle $F(X)…

Applications des Développements Limités Calculs des Limites Lorsque les théorèmes généraux sur les limites aboutissent à une forme indéterminée, l’utilisation des développements limités (D.L.) est une technique très efficace pour lever l’indétermination. La méthode consiste à remplacer les fonctions par leurs parties principales pour trouver un équivalent simple du quotient ou du produit. Exemples Calcul…

Développements Limités Généralisés Soit $f$ une fonction définie au voisinage de zéro. Si $f$ n’admet pas de limite finie en 0, elle ne peut pas avoir de développement limité standard. Cependant, il est parfois possible de trouver un entier $m$ tel que la fonction $g(x) = x^m f(x)$ admette, elle, un développement limité en 0….