Le Théorème de Stokes Le théorème de Stokes (parfois appelé théorème de Kelvin-Stokes) est un résultat central de l’analyse vectorielle qui relie l’intégrale d’un champ de vecteurs le long d’une courbe fermée (sa circulation) à…
Applications de la Formule de Green-Riemann La formule de Green-Riemann, $\oint_\mathcal{C} P \,dx + Q \,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dA$, est bien plus qu’un résultat théorique. C’est…
La Formule de Green-Riemann La formule de Green-Riemann (souvent appelée simplement théorème de Green dans le monde anglo-saxon) est un résultat spectaculaire qui établit un lien direct entre une intégrale double sur un domaine plan…
Orientation d’une Surface Contrairement à l’intégrale d’un champ scalaire, le flux d’un champ de vecteurs à travers une surface dépend crucialement de la manière dont on « traverse » cette surface. Cette notion de « sens de traversée »…
Flux d’un Champ de Vecteurs L’intégrale de surface d’un champ de vecteurs est l’une des notions les plus importantes de l’analyse vectorielle, avec des applications profondes en physique. On ne l’appelle généralement pas « intégrale de…
Intégration d’une Fonction sur une Surface L’intégration sur une surface est la généralisation de l’intégrale curviligne à une dimension supérieure. Elle permet de « sommer » une grandeur (scalaire ou vectorielle) sur une nappe de surface courbe.…
Paramétrisation d’une Nappe de Surface Tout comme une courbe est une déformation d’une ligne (un intervalle), une surface peut être vue comme une déformation d’une région plane. La paramétrisation est la fonction mathématique qui décrit…
Définition de l’Intégrale de Surface Tout comme l’intégrale curviligne étend l’intégration aux courbes, l’intégrale de surface étend l’intégration à des surfaces courbes dans l’espace $\mathbb{R}^3$. Elle permet de « sommer » une quantité (scalaire ou vectorielle) sur…
Indépendance du Chemin d’Intégration Pour une intégrale curviligne d’un champ de vecteurs, $\int_\mathcal{C} \vec{F} \cdot d\vec{r}$, le résultat dépend en général de la courbe $\mathcal{C}$ suivie pour aller d’un point A à un point B.…
Circulation d’un Champ de Vecteurs L’intégrale curviligne d’un champ de vecteurs $\vec{F}$ le long d’une courbe orientée $\mathcal{C}$ est appelée la circulation de $\vec{F}$ le long de $\mathcal{C}$. Cette notion est fondamentale en physique, où…