Passage en Coordonnées Polaires Le passage en coordonnées polaires est la technique de changement de variables la plus importante pour les intégrales doubles. Elle est particulièrement efficace lorsque le domaine d’intégration ou la fonction à…
Le Déterminant Jacobien Au cœur de la formule du changement de variables pour les intégrales multiples se trouve un objet fondamental : le déterminant jacobien (souvent appelé simplement le Jacobien). Ce scalaire, qui dépend du…
Formule du Changement de Variables En calcul intégral, la formule du changement de variables est la généralisation aux dimensions supérieures de la méthode de substitution (le « changement de variable $u = \dots$ ») pour les intégrales…
Application à la Géométrie Différentielle La formule de calcul de l’aire d’une surface, $\iint_D \|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\| \,du \,dv$, est bien plus qu’un simple outil de calcul. Le terme $\|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\|$ est au cœur…
Aire d’une Surface Paramétrée Comment calculer l’aire d’une surface courbe dans l’espace, comme une sphère, un paraboloïde ou un tore ? La méthode consiste à « dérouler » la surface sur un plan en utilisant une paramétrisation,…
Exemples de Calculs de Volumes Le calcul de volumes de solides est l’une des applications les plus directes et les plus importantes des intégrales multiples. On peut utiliser une intégrale double pour trouver le volume…
Exemples de Calculs d’Aires La méthode de calcul d’aire par intégrale double, via la formule $\text{Aire}(D) = \iint_D 1 \,dA$, est très puissante. Sa mise en œuvre dépend crucialement de la capacité à bien décrire…
Volume d’un Solide de l’Espace L’intégrale triple est l’outil le plus direct et le plus général pour calculer le volume d’une région $E$ de l’espace $\mathbb{R}^3$. L’idée est de « sommer » les volumes infinitésimaux $dV =…
Calcul de Volumes par Intégrale Triple Alors que l’intégrale double calcule le volume sous une surface, l’intégrale triple est l’outil le plus direct et le plus général pour calculer le volume d’un solide quelconque dans…
Volume d’un Solide sous une Surface L’interprétation géométrique la plus directe de l’intégrale double est le calcul du volume. Si l’on a une fonction positive $f(x,y)$, son intégrale sur un domaine plan $D$ correspond au…