Calcul de Volumes par Intégrale Double L’interprétation la plus fondamentale de l’intégrale double est géométrique : elle représente le volume d’un solide. Plus précisément, l’intégrale de $f(x,y)$ sur un domaine $D$ est le volume du…
Aire d’un Domaine du Plan L’intégrale double, bien que définie pour calculer le volume sous une surface, offre une méthode élégante et puissante pour calculer l’aire d’un domaine $D$ dans le plan. L’astuce consiste à…
Calcul d’Aires par Intégrale Double L’intégrale double de $f(x,y)$ sur un domaine $D$ représente le volume sous la surface $z=f(x,y)$. Une application directe et puissante de ce concept est le calcul de l’aire du domaine…
Centre de Masse et Moments d’Inertie En mécanique, le mouvement d’un objet étendu (non ponctuel) peut être décomposé en un mouvement de translation de son centre de masse et un mouvement de rotation autour de…
Applications Physiques des Intégrales Multiples Les intégrales multiples sont l’outil mathématique naturel pour « sommer » des quantités continues réparties dans l’espace. Si l’on connaît une densité locale (de masse, de charge, etc.), l’intégrale multiple permet de…
Calcul d’Intégrales Triples Itérées Le calcul d’une intégrale triple, grâce au théorème de Fubini, se ramène à une succession de trois intégrales simples. La méthode consiste à évaluer ces intégrales « de l’intérieur vers l’extérieur », en…
Le Théorème de Fubini en 3D Le théorème de Fubini s’étend de manière naturelle aux intégrales triples sur des domaines de l’espace $\mathbb{R}^3$. Le principe reste le même : transformer une intégrale triple en une…
Propriétés de l’Intégrale Multiple Les intégrales doubles et triples partagent les mêmes propriétés fondamentales que les intégrales simples. Ces propriétés sont essentielles pour manipuler et simplifier les calculs. Soit $D$ un domaine d’intégration dans $\mathbb{R}^2$…
Intégration sur des Domaines Généraux La plupart des problèmes d’intégration ne se posent pas sur des rectangles, mais sur des formes plus complexes comme des disques, des triangles ou des domaines délimités par des courbes.…
Calcul sur un Domaine Rectangulaire Le cas le plus simple pour le calcul d’une intégrale double est celui où le domaine d’intégration est un rectangle. Dans cette situation, les bornes de chaque intégrale simple sont…