Contexte : Polynômes d’Endomorphismes et Polynôme Caractéristique Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie (ou $A$ une matrice carrée). Polynôme d’endomorphisme : Pour tout polynôme $P(X) = \sum a_k X^k$, on…
Théorème de Rouché-Fontené Contexte : Systèmes d’Équations Linéaires Considérons un système de $m$ équations linéaires à $n$ inconnues, qui peut s’écrire sous forme matricielle : $$ AX = B $$ $A$ est la matrice des…
Contexte : Noyau, Image et Rang Soit $f: E \to F$ une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels. Le noyau de $f$, noté $Ker(f)$, est le sous-espace de $E$ des vecteurs envoyés sur le vecteur…
Contexte : Familles Libres et Génératrices Dans un espace vectoriel, une famille libre est un ensemble de vecteurs dont aucun ne peut s’écrire comme une combinaison linéaire des autres. Une famille génératrice est un ensemble…
Contexte : Extensions de Galois et Correspondance Soit $L/K$ une extension de Galois, c’est-à-dire une extension finie, normale et séparable. Le groupe de Galois de l’extension, noté $Gal(L/K)$, est le groupe de tous les automorphismes…
Théorème de l’Élément Primitif Contexte : Extensions de Corps En algèbre, une extension de corps $L/K$ est une situation où $K$ est un sous-corps de $L$. $L$ peut alors être vu comme un espace vectoriel…
Théorème de Wedderburn (sur les corps finis) Contexte : Corps, Corps Gauches et Finitude En algèbre, la structure de corps est fondamentale. Elle généralise les propriétés de l’addition, de la soustraction, de la multiplication et…
Théorème de Structure d’Artin-Wedderburn Contexte : Anneaux et Modules Simples et Semi-simples Ce théorème s’applique à une classe d’anneaux (non nécessairement commutatifs) appelés anneaux semi-simples. Module Simple : Un module (l’équivalent d’un espace vectoriel sur…
Théorème de Krull Contexte : Idéaux dans les Anneaux En algèbre, un anneau commutatif unitaire est une structure comme l’anneau des entiers $\mathbb{Z}$ ou l’anneau des polynômes $K[X]$. Un idéal $I$ d’un anneau $A$ est…
Théorème de la Base de Hilbert Contexte : Anneaux Noethériens et Idéaux Pour comprendre ce théorème, il est essentiel de définir la notion d’anneau noethérien. Soit $A$ un anneau commutatif. Les conditions suivantes sont équivalentes,…