Théorème de Radon-Nikodym Contexte : Mesures et Continuité Absolue Pour énoncer le théorème, nous avons besoin de concepts de la théorie de la mesure. Espace mesuré : Un triplet $(X, \mathcal{A}, \mu)$ où $X$ est…
Théorème de Fubini-Tonelli Contexte : Intégrales Multiples Considérons une fonction de deux variables, $f(x,y)$, et deux espaces mesurés $(X, \mathcal{A}, \mu)$ et $(Y, \mathcal{B}, \nu)$. On peut définir une mesure produit sur l’espace $X \times…
Théorème de la Convergence Monotone et Lemme de Fatou Lemme de Fatou Lemme de Fatou Soit $(X, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions mesurables de $X$ dans $[0,…
Théorème de la Convergence Monotone Version 1 : Théorème de la Convergence Monotone pour les Suites Réelles Contexte : Suites Monotones Une suite de nombres réels $(u_n)$ est dite monotone si elle est soit croissante…
Contexte : Espaces Complets et Ensembles Maigres Pour formuler le théorème de Baire, nous avons besoin de plusieurs concepts de topologie. Espace Métrique Complet : Un espace métrique $(E, d)$ est dit complet si toute…
Contexte : Compacité et Recouvrements La notion de compacité est centrale en analyse et en topologie. Intuitivement, un ensemble compact est un ensemble qui possède des propriétés de « finitude », même s’il est infini. La définition…
Critère de Convergence de Cauchy Définition : Suite de Cauchy Une suite réelle $(u_n)$ est dite de Cauchy si ses termes deviennent arbitrairement proches les uns des autres à partir d’un certain rang. Formellement :…
Contexte : Suites Bornées et Sous-suites En analyse, on étudie le comportement des suites de nombres réels. Une suite $(u_n)$ est dite bornée s’il existe un nombre réel $M$ tel que $|u_n| \le M$ pour…
Les formules de Taylor permettent d’approcher une fonction suffisamment dérivable au voisinage d’un point par un polynôme, dont les coefficients dépendent des dérivées successives de la fonction en ce point. La version avec reste de…
Règles de de l’Hospital Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a,b[$ et dérivables sur $]a,b[$. Cas de la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ : Si $f(a)=g(a)=0$ et si la limite $\lim_{x \to a^+}…