Contexte : Algèbre et Géométrie Considérons un corps $K$ algébriquement clos (comme $\mathbb{C}$) et l’anneau des polynômes à $n$ variables $K[X_1, \dots, X_n]$. Côté Géométrique : Un ensemble algébrique (ou variété algébrique affine) $V$ est…
Contexte : Racines des Polynômes Un problème central en algèbre est la recherche des racines d’un polynôme, c’est-à-dire les valeurs qui annulent ce polynôme. Dans l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$, certains polynômes n’ont pas de…
Théorème de Nielsen-Schreier Contexte : Groupes Libres et Sous-groupes Un groupe libre sur un ensemble de générateurs $S$ est, de manière informelle, le groupe le plus général que l’on puisse construire avec ces générateurs. Ses…
Théorème de Classification des Groupes Finis Simples Contexte : Les « Atomes » de la Théorie des Groupes Le théorème de Jordan-Hölder nous apprend que tout groupe fini peut être décomposé de manière unique en une série…
Théorème de Feit-Thompson (Théorème de l’Ordre Impair) Contexte : Groupes Simples et Résolubles La classification des groupes finis simples est un des projets les plus ambitieux des mathématiques. Les groupes simples sont les « briques élémentaires »…
Théorème de Burnside (Lemme de Burnside) Contexte : Action de Groupe Pour comprendre ce théorème, il faut se placer dans le cadre d’un groupe fini $G$ qui agit sur un ensemble fini $X$. Cela signifie…
Théorème de Jordan-Hölder Contexte : Suites de Composition Pour comprendre ce théorème, il faut définir la notion de « décomposition » d’un groupe. Groupe Simple : Un groupe $G$ est dit simple s’il n’est pas trivial et…
Théorèmes de Sylow Contexte : p-Groupes et p-Sous-groupes Soit $G$ un groupe fini et $p$ un nombre premier. Un groupe $G$ est un p-groupe si son ordre (son nombre d’éléments) est une puissance de $p$.…
Contexte : p-Groupes et p-Sous-groupes Soit $G$ un groupe fini et $p$ un nombre premier. Un groupe $G$ est un p-groupe si son ordre (son nombre d’éléments) est une puissance de $p$. Un sous-groupe $H$…
Contexte : Groupes de Permutations Soit $E$ un ensemble. Une permutation de $E$ est une bijection de $E$ sur lui-même. L’ensemble de toutes les permutations d’un ensemble $E$, muni de la loi de composition des…