Théorème de la Valeur Moyenne pour les Intégrales Inégalité de la Moyenne Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur $[a, b]$. Si $g$ est positive sur $[a, b]$ et si $f$ est bornée, c’est-à-dire…
Théorème des Accroissements Finis Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$ et dérivable sur l’intervalle ouvert $]a, b[$. Alors, il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que :…
Théorème de Rolle Soit $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction qui satisfait les trois conditions suivantes : $f$ est continue sur l’intervalle fermé $[a,b]$. $f$ est dérivable sur l’intervalle ouvert $]a,b[$. $f(a) = f(b)$. Alors,…
Contexte : Fonctions Continues sur un Intervalle Une fonction $f$ est dite continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en chaque point de cet intervalle. Intuitivement, cela signifie que l’on peut tracer sa…
Contexte : Dérivation et Intégration Le calcul différentiel et le calcul intégral ont été développés historiquement pour résoudre des problèmes a priori distincts : La dérivation s’intéresse au taux de variation instantané d’une fonction (la…
Loi d’Inertie de Sylvester Contexte : Réduction des Formes Quadratiques Soit $q$ une forme quadratique sur un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$. Le théorème sur l’existence de bases orthogonales nous assure qu’il existe…
Contexte : Systèmes de Cramer Considérons un système de $n$ équations linéaires à $n$ inconnues, écrit sous forme matricielle : $$ AX = B $$ Un tel système est appelé un système de Cramer si…
Théorème de la Décomposition de Jordan Contexte : Au-delà de la Diagonalisation Un endomorphisme $u$ d’un espace vectoriel $E$ est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples. Cependant, de…
Contexte : Diagonalisation et Matrices Rectangulaires Le théorème spectral nous apprend que les matrices symétriques (ou hermitiennes) sont diagonalisables dans une base orthonormale. Cependant, la diagonalisation n’est pas possible pour toutes les matrices carrées, et…
Version Réelle (pour les Espaces Euclidiens) Contexte Soit $E$ un espace euclidien (un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire) et $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que $u$ est symétrique (ou…