Technique de Jordanisation en Petites Dimensions Cette section présente une approche pratique pour déterminer la forme réduite de Jordan d’un endomorphisme $u$ sur un K-espace vectoriel $E$ de petite dimension $n$. On suppose que son…
Base et Matrice de Jordan Théorème : Réduction de Jordan Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$, dont le polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $K$. Supposons que la factorisation…
Dans cette section, nous considérons un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$, et un endomorphisme $u$ de $E$ dont le polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $K$. Sa factorisation s’écrit : $$ \chi_u(X) =…
Jordanisation d’un Endomorphisme Nilpotent Définition : Matrice Nilpotente de Jordan On appelle matrice nilpotente de Jordan toute matrice carrée diagonale par blocs, où chaque bloc diagonal est un bloc de Jordan nilpotent, c’est-à-dire une matrice…
Endomorphismes Nilpotents Définition : Endomorphisme Nilpotent Soit $E$ un K-espace vectoriel. Un endomorphisme $u$ de $E$ est dit nilpotent s’il existe un entier naturel non nul $m$ tel que la $m$-ième puissance de $u$ soit…
Définition : Endomorphisme Trigonalisable Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que $u$ est trigonalisable (ou triangularisable) s’il existe une base de $E$ dans laquelle…
Diagonalisation Simultanée Lemme : Stabilité des Sous-espaces Propres Soient $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie, $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ qui commutent ($u \circ v = v \circ u$). Alors, tout sous-espace…
Définition : Polynôme Scindé Soit $K$ un corps commutatif. Un polynôme $P \in K[X]$ est dit scindé sur $K$ s’il peut être factorisé en un produit de polynômes du premier degré à coefficients dans $K$.…
Sous-espaces Propres Définition : Sous-espace Propre Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$, et $\lambda \in K$ une de ses valeurs propres. On appelle sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda$, le sous-espace…
Définition : Valeurs Propres et Vecteurs Propres Soit $E$ un K-espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de $E$. Un scalaire $\lambda \in K$ est appelé une valeur propre de $u$ s’il existe un vecteur non…