Exercices Corrigés : Formes Bilinéaires et Quadratiques Exercice 1 Soit $f$ la forme bilinéaire symétrique sur $\mathbb{R}^3$ définie par $f(x,y) = x_1y_1 – 2x_1y_2 – 2x_2y_1 + 6x_2y_2 – 7x_1y_3 – 7x_3y_1 – 18x_2y_3 –…
Théorème d’Inertie de Sylvester Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$ de rang $r$, et $(e_1, \dots, e_n)$ une base orthogonale pour $f$. Soit $p$ le…
Bases Orthonormales Définition : Base Orthonormale Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. Une base $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ est dite orthonormale pour $f$ si…
Méthode de Gauss de Réduction d’une Forme Quadratique La méthode de Gauss est un algorithme qui permet de décomposer n’importe quelle forme quadratique en une somme ou une différence de carrés de formes linéaires linéairement…
Définition : Forme Quadratique Soit $E$ un K-espace vectoriel. Une application $q: E \to K$ est une forme quadratique sur $E$ s’il existe une forme bilinéaire $f$ sur $E$ telle que : $$ \forall x…
Bases Orthogonales Définition : Base Orthogonale Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. Une base $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ de $E$ est dite orthogonale pour…
Isotropie Définition : Isotropie Soit $E$ un K-espace vectoriel et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. Deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ sont dits orthogonaux si $f(x, y) = 0$. Un vecteur $x…
Définition : Orthogonalité Soit $E$ un K-espace vectoriel et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. Soit $A$ une partie non vide de $E$. On définit l’orthogonal de A par rapport à f, noté $A^\perp$,…
Formes Bilinéaires Symétriques Non Dégénérées Définition : Forme Bilinéaire Non Dégénérée Soit $E$ un K-espace vectoriel et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. On peut associer à $f$ une application linéaire $\Phi: E \to…
Rang d’une Forme Bilinéaire Rappelons que deux matrices $A$ et $B$ sont dites équivalentes s’il existe des matrices inversibles $P$ et $Q$ telles que $B=QAP$. Une propriété fondamentale est que deux matrices sont équivalentes si…