Théorème de Décomposition des Noyaux Théorème de Décomposition des Noyaux Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$. Soient $P_1$ et $P_2$ deux polynômes de $K[X]$ tels que : $P_1$ et $P_2$ sont premiers entre…
Théorème de Cayley-Hamilton Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie et $u$ un endomorphisme de $E$. Alors le polynôme caractéristique de $u$ est un polynôme annulateur pour $u$. Autrement dit : $$ \chi_u(u) =…
Définition : Polynôme Caractéristique d’une Matrice Soit $A = (a_{ij})$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients dans un corps $K$. On appelle polynôme caractéristique de $A$, noté $\chi_A$, le déterminant de la matrice $XI_n…
Polynôme Minimal Théorème : Existence et Unicité du Polynôme Minimal Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n \ge 1$. Pour tout endomorphisme $u$ de $E$, il existe un unique polynôme $P \in K[X]$,…
Polynômes d’Endomorphismes : Notations et Définitions Notations et Définitions Soit $E$ un K-espace vectoriel. Pour un endomorphisme $u$ de $E$ et un entier $m \ge 0$, on définit les puissances de $u$ par récurrence :…
Exercices Corrigés : Formes Multilinéaires et Déterminants Exercice 1 Soit $M$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ définie par $m_{ij}$ valant $a$ si $i=j$, $b$ si $ij$. Calculer $\det(M)$. Solution 1 On distingue deux cas principaux. Cas…
Déterminant de Vandermonde Proposition : Déterminant de Vandermonde Soit $K$ un corps commutatif, $n \ge 2$ un entier, et $a_1, a_2, \dots, a_n$ des éléments de $K$. Le déterminant de Vandermonde associé à ces scalaires…
Théorème : Formule de l’Inverse par la Comatrice Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients dans un corps $K$, et $\tilde{A}$ sa matrice adjointe (la transposée de sa comatrice). Alors, on a la…
Définition : Mineur, Cofacteur et Comatrice Soit $A = (a_{ij})$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients dans un corps $K$. On appelle mineur relatif au coefficient $a_{ij}$, noté $\Delta_{ij}$, le déterminant de la matrice…
Définition : Déterminant d’une Matrice Soit $K$ un corps commutatif et $A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients dans $K$. On définit le déterminant de A, noté $\det(A)$,…