Changement de Base pour les Formes Bilinéaires Proposition : Formule de Changement de Base Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$. Soient $\beta$ et $\beta’$ deux bases de $E$, et $f$ une forme… 

Écriture Matricielle d’une Forme Bilinéaire Écriture Matricielle Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$, muni d’une base $\beta = (e_1, \dots, e_n)$. Soit $f$ une forme bilinéaire sur $E$ et $A$ sa matrice… 

Matrice d’une Forme Bilinéaire Définition : Matrice d’une Forme Bilinéaire Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$, et soit $\beta = (e_1, e_2, \dots, e_n)$ une base de $E$. Pour une forme bilinéaire… 

Définition : Forme Bilinéaire Soit $E$ un K-espace vectoriel sur un corps commutatif $K$. a) Une application $f: E \times E \to K$ est une forme bilinéaire sur $E$ si elle est linéaire par rapport… 

Équation Différentielle Linéaire Homogène Définition : Équation Différentielle Linéaire Homogène Une équation différentielle linéaire homogène d’ordre n à coefficients constants est une équation de la forme : $$ y^{(n)}(t) + a_{n-1}y^{(n-1)}(t) + \dots + a_1… 

Solutions Réelles des Systèmes Différentiels Gestion des Valeurs Propres Complexes Nous nous intéressons à la résolution du système différentiel $X'(t) = AX(t)$ où $A$ est une matrice à coefficients réels, mais dont le polynôme caractéristique… 

Résolution Pratique d’un Système Différentiel Méthode utilisant directement l’Exponentielle Soit une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{R}$. Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ ses valeurs propres distinctes, de multiplicités respectives $m_1,… 

Définition d’un Système Différentiel Définition : Système Différentiel Linéaire Un système différentiel linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants est un ensemble de $n$ équations différentielles de la forme : $$ (S) \quad \begin{cases}… 

Par analogie avec la série entière qui définit l’exponentielle pour les nombres réels et complexes ($e^z = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$), nous allons définir l’exponentielle d’une matrice carrée. Proposition : Convergence de la Série Exponentielle Pour toute… 

Norme d’une Matrice Proposition : Norme d’Opérateur Pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on définit l’application $N(A)$ par : $$ N(A) = \sup_{X \in \mathbb{C}^n, X \neq 0} \frac{\|AX\|}{\|X\|} $$ où $\| \cdot \|$ est…