Calculs des Limites Lorsque les théorèmes généraux sur les limites aboutissent à une forme indéterminée, l’utilisation des développements limités (D.L.) est une technique très efficace pour lever l’indétermination. La méthode consiste à remplacer les fonctions…
Développements Limités Généralisés Soit $f$ une fonction définie au voisinage de zéro. Si $f$ n’admet pas de limite finie en 0, elle ne peut pas avoir de développement limité standard. Cependant, il est parfois possible…
Opérations Avancées sur les Développements Limités Intégration d’un Développement Limité Si une fonction $f$ est dérivable sur un voisinage de zéro et si sa dérivée $f’$ admet un développement limité (D.L.) d’ordre $n$ au voisinage…
Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant des développements limités (D.L.) d’ordre $n$ au voisinage de 0 : $$ f(x) = P(x) + x^n\epsilon_1(x) $$ $$ g(x) = Q(x) + x^n\epsilon_2(x) $$ où $P(x)$ et…
Développements Limités Usuels au Voisinage de 0 Les développements limités suivants, obtenus par la formule de Taylor-Maclaurin, sont fondamentaux pour les calculs de limites et d’équivalents. Dans toutes les formules, $\epsilon(x)$ désigne une fonction telle…
Définition : Développement Limité Soient $f$ une fonction définie au voisinage de zéro (sauf peut-être en 0) et $n \in \mathbb{N}^*$. On dit que $f$ admet un développement limité (D.L.) d’ordre n au voisinage de…
Applications de la Formule de Taylor Calcul Approché des Valeurs d’une Fonction Si une fonction $f$ vérifie les conditions d’application de la formule de Taylor-Lagrange sur $[x_0, x_0+h]$, on a : $$ f(x_0+h) = \sum_{k=0}^n…
Les formules de Taylor permettent d’approcher une fonction suffisamment dérivable au voisinage d’un point par un polynôme, dont les coefficients dépendent des dérivées successives de la fonction en ce point. Formule de Taylor-Lagrange Soit $f$…
Fonctions Équivalentes Définition : Infiniment Petit et Infiniment Grand Une fonction $f$ est un infiniment petit au voisinage de $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$. Une fonction $f$ est un infiniment grand au…
Fonctions Circulaires Réciproques : Arctangente et Arccotangente Fonction Arc Tangente La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l’intervalle ouvert $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$. Elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image, $\mathbb{R}$.…