Contexte : Le Triangle Rectangle Le théorème de Pythagore est une relation fondamentale de la géométrie euclidienne entre les trois côtés d’un triangle rectangle. Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit…
Théorème Spectral pour les Opérateurs Compacts Contexte : De la Diagonalisation à la Décomposition Spectrale En algèbre linéaire, un résultat fondamental stipule que toute matrice symétrique (ou hermitienne) $A$ peut être diagonalisée : il existe…
Théorème de Banach-Alaoglu Contexte : Dualité et Topologies Faibles Pour aborder ce théorème, il faut se placer dans le cadre de l’analyse fonctionnelle. Espace de Banach : Un espace vectoriel normé qui est complet pour…
Théorème de Stone-Weierstrass Contexte : Densité et Approximation Le point de départ est le théorème d’approximation de Weierstrass (1885), qui affirme que toute fonction continue sur un segment $[a, b]$ peut être approchée uniformément d’aussi…
Théorème du Point Fixe de Banach Contexte : Points Fixes et Contractions Ce théorème donne des conditions suffisantes pour garantir l’existence et l’unicité d’un point fixe pour une certaine fonction. Un point fixe d’une fonction…
Théorème de Hahn-Banach Contexte : Le Problème du Prolongement La question fondamentale à laquelle répond le théorème de Hahn-Banach est la suivante : Étant donné une application linéaire (une « fonctionnelle ») définie sur un petit morceau…
Inégalité de Hölder Contexte : Espaces Lp L’inégalité de Hölder est un outil central dans l’étude des espaces Lp. Pour un espace mesuré $(X, \mathcal{A}, \mu)$ et un réel $p \ge 1$, l’espace $L^p(X)$ est…
Théorème du Graphe Fermé Contexte : Continuité et Graphe d’une Application Pour une application (ou opérateur) $T: X \to Y$, son graphe est un sous-ensemble de l’espace produit $X \times Y$ défini par : $$…
Théorème de Banach-Steinhaus Contexte : Familles d’Opérateurs Linéaires Ce théorème s’intéresse au comportement d’une collection (potentiellement infinie) d’applications linéaires continues, appelées opérateurs, entre deux espaces vectoriels normés. Un espace de Banach est un espace vectoriel…
Inégalité de Minkowski Contexte : Les Espaces $L^p$ et l’Inégalité Triangulaire L’inégalité de Minkowski est la généralisation de l’inégalité triangulaire aux espaces vectoriels normés, et plus spécifiquement aux espaces $L^p$. L’inégalité triangulaire classique pour les…