Théorèmes de Picard Contexte : Singularités Essentielles En analyse complexe, les singularités isolées d’une fonction holomorphe $f$ sont classées en trois types : Singularité Apparente (ou Éliminable) : La fonction peut être prolongée par continuité…
Théorème de l’Application Conforme de Riemann Contexte : Équivalence Conforme La question centrale est : « Quels domaines du plan complexe sont ‘géométriquement équivalents’ ? » En analyse complexe, l’équivalence géométrique est capturée par la notion d’application…
Théorème de l’Application Ouverte Contexte : Applications Ouvertes En topologie, une application (ou fonction) $f: X \to Y$ est dite ouverte si l’image de tout ensemble ouvert de $X$ est un ensemble ouvert de $Y$.…
Principe du Module Maximum Contexte : Fonctions Holomorphes et Module En analyse complexe, une fonction $f$ est holomorphe sur un domaine (un ouvert connexe) $U$ si elle est dérivable au sens complexe en chaque point…
Lemme de Schwarz Contexte : Le Disque Unité Le Lemme de Schwarz est un résultat surprenant qui décrit le comportement des fonctions holomorphes qui envoient le disque unité ouvert dans lui-même, avec une contrainte supplémentaire.…
Théorème de Morera Contexte : Réciproque du Théorème de Cauchy Le théorème intégral de Cauchy nous dit que si une fonction $f$ est holomorphe sur un domaine simplement connexe $D$, alors son intégrale le long…
Théorème de Liouville Contexte : Fonctions Entières et Bornées En analyse complexe, on s’intéresse aux fonctions holomorphes (dérivables au sens complexe). Une fonction est dite entière si elle est holomorphe sur tout le plan complexe…
Contexte : Singularités, Séries de Laurent et Résidus Pour comprendre le théorème des résidus, il faut d’abord définir les concepts clés de l’analyse complexe. Singularité Isolée : Un point $z_0$ est une singularité isolée d’une…
Équations de Cauchy-Riemann Contexte : Dérivabilité Complexe (Holomorphie) Soit $f$ une fonction d’une variable complexe, définie sur un ouvert $U \subseteq \mathbb{C}$. On dit que $f$ est holomorphe (ou dérivable au sens complexe) en un…
Théorème de Représentation de Riesz Contexte : Espaces Euclidiens et Dualité Soit $E$ un espace euclidien, c’est-à-dire un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Une forme linéaire sur…