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Identifier géométriquement une homothétie, une projection, une symétrie Identifier Géométriquement Homothétie, Projection, Symétrie Les endomorphismes les plus simples ne sont pas juste des matrices de nombres ; ils correspondent à des transformations géométriques claires et intuitives. Les homothéties, les projections et les symétries sont les briques de base de ces transformations. Apprendre à les reconnaître…
Comment prouver qu’une application n’est PAS linéaire Comment Prouver qu’une Application n’est PAS Linéaire Une application est linéaire si elle respecte deux conditions très strictes : l’additivité et l’homogénéité. Pour prouver qu’une application n’est pas linéaire, il suffit de montrer qu’elle viole au moins une de ces règles pour au moins un exemple. Trouver un…
Comment passer des coordonnées d’une base à une autre Comment Passer des Coordonnées d’une Base à une Autre Un même vecteur peut être décrit par des coordonnées différentes selon la base dans laquelle on se place. Le passage d’un système de coordonnées à un autre est une opération standard en algèbre linéaire, entièrement gérée par…
Construire une base duale : la méthode Construire une Base Duality : la Méthode À toute base d’un espace vectoriel $E$, on peut associer une base unique de son espace dual $E^*$, appelée la base duale. Cette base est constituée de formes linéaires « coordonnées » qui permettent d’extraire les composantes d’un vecteur dans la base d’origine….
Méthode pour trouver l’équation cartésienne d’un hyperplan Méthode pour Trouver l’Équation Cartésienne d’un Hyperplan Un hyperplan est un sous-espace vectoriel dont la dimension est juste en dessous de celle de l’espace ambiant. Dans $\mathbb{R}^3$, un hyperplan est un plan. Dans $\mathbb{R}^4$, c’est un sous-espace de dimension 3. Tout hyperplan peut être décrit par une unique…
La matrice de Gram : calcul et application La Matrice de Gram : Calcul et Application La matrice de Gram d’une famille de vecteurs $(v_1, \dots, v_n)$ dans un espace euclidien est une matrice carrée qui contient tous les produits scalaires entre les vecteurs de la famille. C’est une sorte de « carte d’identité » de la…
L’adjoint d’un endomorphisme : calcul et propriétés L’Adjoint d’un Endomorphisme : Calcul et Propriétés Dans un espace euclidien, chaque endomorphisme $f$ possède un « compagnon » unique appelé son adjoint, noté $f^*$. Cet adjoint est défini par sa relation avec $f$ à travers le produit scalaire. C’est la généralisation naturelle de la matrice transposée à l’univers des…
Formes quadratiques définies positives : les critères à connaître Formes Quadratiques Définies Positives : Les Critères à Connaître Une forme quadratique $q$ est dite définie positive si elle prend une valeur strictement positive pour tout vecteur non nul. C’est la condition la plus forte de positivité et elle est essentielle pour définir une norme et…
La décomposition en carrés de Gauss : exemples pratiques La Décomposition en Carrés de Gauss : Exemples Pratiques La décomposition en carrés de Gauss est un algorithme qui permet de réécrire n’importe quelle forme quadratique comme une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes. C’est une méthode systématique pour simplifier une forme quadratique et…
La réduction de Jordan : dans quel cas l’utiliser La Réduction de Jordan : Dans Quel Cas l’Utiliser Que faire lorsqu’une matrice n’est pas diagonalisable ? La réduction de Jordan est la réponse. C’est un théorème qui affirme que même si une matrice n’est pas semblable à une matrice diagonale, elle est toujours semblable à…