Écriture Matricielle et Changement de Base Écriture Matricielle Expression Matricielle d’une Forme Sesquilinéaire Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, muni d’une base $\beta = (e_1, \dots, e_n)$. Soit $f$ une forme sesquilinéaire…
Matrice d’une Forme Sesquilinéaire Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $f$ une forme sesquilinéaire sur $E$, et $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$. Pour tout couple de vecteurs $(x,y)…
Quelques rappels sur les nombres complexes Rappels Pour tout nombre complexe $z = a+ib$ (avec $(a,b) \in \mathbb{R}^2$), on rappelle les définitions et identités suivantes : Conjugué : $\bar{z} = a-ib$. Partie réelle : $Re(z)…
Exercices Corrigés : Endomorphismes d’un Espace Euclidien Exercice 1 Soient $E$ un espace préhilbertien, et $u, v: E \to E$ deux applications telles que $\forall x, y \in E, \langle u(x), y \rangle = \langle…
Décomposition Polaire et Décomposition QR Décomposition Polaire On note $S_n^+(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices réelles symétriques positives, et $S_n^{++}(\mathbb{R})$ celui des matrices réelles symétriques définies positives. Proposition : Racine Carrée d’une Matrice Symétrique Positive Soit $A$…
Définition et propriétés de base Définition : Endomorphisme Orthogonal Soit $E$ un espace euclidien. Un endomorphisme $u$ de $E$ est dit orthogonal (ou une isométrie vectorielle) s’il conserve le produit scalaire, c’est-à-dire : $$ \forall…
Formes Bilinéaires Symétriques d’un Espace Euclidien Proposition : Association entre Endomorphisme et Forme Bilinéaire Soit $E$ un espace euclidien, $u$ un endomorphisme symétrique de $E$, et $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ une base orthonormale de…
Définition : Endomorphismes Symétriques et Antisymétriques Soit $E$ un espace euclidien et $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que $u$ est symétrique (ou autoadjoint) s’il est égal à son propre adjoint : $u^* =…
Symétrie Orthogonale : Définitions et Propriétés Symétrie suivant une Direction Définition : Symétrie Vectorielle Soit $E$ un K-espace vectoriel, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires ($E = F \oplus G$). La symétrie par…
Distance d’un Point à un Sous-espace Vectoriel Définition : Distance d’un Point à un Ensemble Soit $(E, \| \cdot \|)$ un espace vectoriel normé, $x$ un vecteur de $E$ et $A$ une partie non vide…