Projection suivant une Direction Définition : Projection Soient $E$ un K-espace vectoriel, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, et $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$ (tel que $E = F \oplus G$). On appelle…
Proposition : Existence et Unicité de l’Adjoint Soit $E$ un espace euclidien. Pour tout endomorphisme $u$ de $E$, il existe un unique endomorphisme $v$ de $E$ qui satisfait la relation suivante pour tous vecteurs $x,…
Exercices Corrigés : Espaces Euclidiens Exercice 1 Pour chacune des formes quadratiques $q$ sur $\mathbb{R}^3$ ci-dessous, déterminer les valeurs du paramètre réel $a$ pour lesquelles $q$ définit un produit scalaire. a) $q(x) = x_1y_1 +…
Produit Vectoriel : Définition et Propriétés Théorème : Existence et Unicité du Produit Vectoriel Soit $E$ un espace euclidien orienté de dimension 3. Pour tout couple de vecteurs $(u, v)$ de $E$, il existe un…
Formes Linéaires d’un Espace Euclidien Proposition : Théorème de Représentation de Riesz Soit $E$ un espace euclidien. Pour toute forme linéaire $\varphi$ sur $E$, il existe un unique vecteur $y \in E$ tel que, pour…
Changement de Bases Orthonormales et Orientation Lemme Préliminaire Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ muni d’une base orthonormale $(e_1, \dots, e_n)$. Soit $(v_1, \dots, v_p)$ une famille de vecteurs de $E$, et $A$…
Théorème : Procédé d’Orthonormalisation de Gram-Schmidt Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $(v_1, v_2, \dots, v_n)$ une base quelconque de $E$. Il existe une unique base orthonormale $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ de…
Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d’une forme bilinéaire symétrique positive $f$. Alors, pour tous vecteurs $x, y \in E$, on a : $$ (f(x,y))^2 \le f(x,x) f(y,y) $$ Démonstration…
Notations et Règles de Calcul Notations et Règles de Calcul Soit $E$ un espace préhilbertien réel muni d’un produit scalaire $f$. Pour simplifier les écritures, nous adoptons les notations standards suivantes : Le produit scalaire…
Définition et Propriétés Élémentaires Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel doté d’une forme bilinéaire symétrique $f$. $f$ est dite positive si, pour tout vecteur $x \in E$, on a $f(x,x) \ge 0$. $f$ est dite définie…