Projections et Projections Orthogonales Projection suivant une Direction Définition : Projection Soient $E$ un K-espace vectoriel, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, et $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$…
Endomorphisme Adjoint Proposition : Existence et Unicité de l'Adjoint Soit $E$ un espace euclidien. Pour tout endomorphisme $u$ de $E$, il existe un unique endomorphisme $v$ de $E$ qui satisfait…
Exercices Corrigés : Espaces Euclidiens Exercice 1 Pour chacune des formes quadratiques $q$ sur $\mathbb{R}^3$ ci-dessous, déterminer les valeurs du paramètre réel $a$ pour lesquelles $q$ définit un produit scalaire.…
Produit Vectoriel : Définition et Propriétés Théorème : Existence et Unicité du Produit Vectoriel Soit $E$ un espace euclidien orienté de dimension 3. Pour tout couple de vecteurs $(u, v)$…
Formes Linéaires d'un Espace Euclidien Proposition : Théorème de Représentation de Riesz Soit $E$ un espace euclidien. Pour toute forme linéaire $\varphi$ sur $E$, il existe un unique vecteur $y…
Changement de Bases Orthonormales et Orientation Lemme Préliminaire Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ muni d'une base orthonormale $(e_1, \dots, e_n)$. Soit $(v_1, \dots, v_p)$ une famille de…
Procédé d'Orthonormalisation de Gram-Schmidt Théorème : Procédé d'Orthonormalisation de Gram-Schmidt Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $(v_1, v_2, \dots, v_n)$ une base quelconque de $E$. Il existe…
Inégalité de Cauchy-Schwarz Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire symétrique positive $f$. Alors, pour tous vecteurs $x, y \in E$, on a…
Notations et Règles de Calcul Notations et Règles de Calcul Soit $E$ un espace préhilbertien réel muni d'un produit scalaire $f$. Pour simplifier les écritures, nous adoptons les notations standards…
Produit Scalaire : Définition et Propriétés Élémentaires Définition et Propriétés Élémentaires Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel doté d'une forme bilinéaire symétrique $f$. $f$ est dite positive si, pour tout vecteur…