Exercices Corrigés : Formes Bilinéaires et Quadratiques Exercice 1 Soit $f$ la forme bilinéaire symétrique sur $\mathbb{R}^3$ définie par $f(x,y) = x_1y_1 - 2x_1y_2 - 2x_2y_1 + 6x_2y_2 - 7x_1y_3…
Théorème d'Inertie de Sylvester Théorème d'Inertie de Sylvester Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$ de rang $r$, et $(e_1, \dots,…
Bases Orthonormales Définition : Base Orthonormale Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. Une base $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ est…
Méthode de Gauss de Réduction d'une Forme Quadratique Méthode de Gauss de Réduction d'une Forme Quadratique La méthode de Gauss est un algorithme qui permet de décomposer n'importe quelle forme…
Formes Quadratiques : Définitions et Propriétés Élémentaires Définition : Forme Quadratique Soit $E$ un K-espace vectoriel. Une application $q: E \to K$ est une forme quadratique sur $E$ s'il existe…
Bases Orthogonales Définition : Base Orthogonale Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. Une base $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ de…
Isotropie Définition : Isotropie Soit $E$ un K-espace vectoriel et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. Deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ sont dits orthogonaux si $f(x, y)…
Orthogonalité par rapport à une Forme Bilinéaire Définition : Orthogonalité Soit $E$ un K-espace vectoriel et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. Soit $A$ une partie non vide de…
Formes Bilinéaires Symétriques Non Dégénérées Définition : Forme Bilinéaire Non Dégénérée Soit $E$ un K-espace vectoriel et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. On peut associer à $f$ une…
Rang d'une Forme Bilinéaire Rappelons que deux matrices $A$ et $B$ sont dites équivalentes s'il existe des matrices inversibles $P$ et $Q$ telles que $B=QAP$. Une propriété fondamentale est que…