Analyse

Intégrales Absolument Convergentes Définition : Convergence Absolue Soit $f: [a,b[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue. On dit que l’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ est absolument convergente si l’intégrale de sa valeur absolue, $\int_a^b |f(t)|dt$, est convergente. Théorème : Convergence Absolue implique Convergence Simple Soit $f: [a,b[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Si l’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ est absolument…

Intégrales Généralisées des Fonctions à Signe Constant L’étude de la convergence pour les intégrales de fonctions à signe constant (positif ou négatif) est simplifiée. On se concentrera sur le cas des fonctions positives, le cas des fonctions négatives s’en déduisant immédiatement. Critère de la Convergence Majorée Proposition Soit $f: [a,b[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue…

Calcul Pratique des Intégrales Généralisées Utilisation des Primitives Définition Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $]a, b[$ et $F$ une de ses primitives. L’intégrale généralisée $\int_a^b f(t)dt$ est convergente si et seulement si les limites de $F(x)$ aux bornes $a$ et $b$ existent et sont finies : $$ \lim_{x \to a^+} F(x) \quad…

Intégrales Généralisées : Définitions et Propriétés Définitions Définition : Fonction Localement Intégrable Soit $f$ une fonction réelle définie sur un intervalle $]a, b[$. On dit que $f$ est localement intégrable sur $]a, b[$ si elle est intégrable au sens de Riemann sur tout intervalle fermé borné $[\alpha, \beta]$ inclus dans $]a, b[$. Remarque : Toute…

Intégration des Fonctions Rationnelles et Applications Intégrale des Fonctions Rationnelles Pour intégrer une fonction rationnelle $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, la stratégie consiste à la décomposer en une somme d’éléments simples. L’intégration se ramène alors au calcul de primitives pour chaque élément de la décomposition. Calcul de $\int \frac{dx}{(x-a)^n}$ Pour les éléments de première espèce (pôles réels)…

Intégration par Changement de Variables Théorème : Intégration par Changement de Variable Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$ et $\varphi: [\alpha, \beta] \to [a,b]$ une fonction de classe $C^1$ telle que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$. Alors : $$ \int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt $$ La transformation $x = \varphi(t)$ est appelée un changement…

Intégration par Parties Théorème : Intégration par Parties Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $C^1$ (continûment dérivables) sur un segment $[a, b]$. Alors, on a la formule suivante : $$ \int_a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b – \int_a^b u'(x)v(x)dx $$ Démonstration La formule de dérivation d’un produit nous donne $(uv)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$. En…

Primitives des Fonctions Usuelles Rappelons que si une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$, elle y admet une primitive $F$. L’intégrale de $f$ sur un segment $[a,b] \subset I$ est alors donnée par : $$ \int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) – F(a) $$ Formulaire de Primitives Usuelles Dans les formules suivantes, $u$…

Intégrale Indéfinie et Primitive Définition : Intégrale Indéfinie Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a, b]$ et soit $t_0$ un point fixé dans $[a, b]$. On appelle intégrale indéfinie de $f$ la fonction $F$ définie sur $[a,b]$ par : $$ F(t) = \int_{t_0}^{t} f(x)dx $$ Remarque Deux intégrales indéfinies de la même fonction $f$ ne…

Propriétés de l’Intégrale de Riemann Relation de Chasles Proposition : Relation de Chasles Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a, b]$ et soit $c$ un point de l’intervalle $]a, b[$. Alors, $f$ est intégrable sur $[a, c]$ et sur $[c, b]$, et on a : $$ \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx $$…