Analyse

Fonctions Convexes et Interprétation Géométrique Définition : Fonctions Convexes et Concaves Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est dite : Convexe si pour tous $x_0, x_1 \in I$ et pour tout $\lambda \in [0,1]$, on a : $$ f(\lambda x_0 + (1-\lambda)x_1) \le \lambda f(x_0) + (1-\lambda)f(x_1) $$ Concave si pour tous $x_0,…

Règles de de l’Hospital Les règles de de l’Hospital fournissent une méthode puissante pour lever les indéterminations du type $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$ lors du calcul de limites de quotients de fonctions. Règles de de l’Hospital Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a,b[$ et dérivables sur $]a,b[$. Cas $\frac{0}{0}$ en $a^+$ :…

Dérivées Successives, Classe C^p et Extremums Dérivées Successives Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$. Sa fonction dérivée $f’$ est elle-même une fonction. Si $f’$ est à son tour dérivable sur $I$, on note sa dérivée $f »$ ou $f^{(2)}$, appelée dérivée seconde de $f$. De manière générale, pour $n \in \mathbb{N}^*$, si…

Dérivée des Fonctions Composées et Réciproques Dérivée d’une fonction composée Proposition : Règle de Dérivation en Chaîne Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage $I$ d’un point $x_0$, et $g$ une fonction définie sur un voisinage $J$ de $f(x_0)$. Si $f$ est dérivable au point $x_0$ et si $g$ est dérivable au point $f(x_0)$,…

Dérivée, Interprétation Géométrique et Opérations Dérivée d’une fonction Définition : Dérivée en un Point Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage $I$ d’un point $x_0 \in \mathbb{R}$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si la limite du taux d’accroissement de $f$ entre $x$ et $x_0$ existe et est finie : $$ \lim_{x…

Propriétés des Fonctions Monotones et Réciproques Théorème : Monotonie Stricte et Injectivité Soit $f: I \to \mathbb{R}$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $f$ est strictement monotone sur $I$, alors $f$ est injective sur $I$. Théorème de la Bijection Soit $f: I \to \mathbb{R}$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $f$…

Fonctions Réciproques et Rappels sur les Bijections Rappels : Injection, Surjection, Bijection Soit $f: E \to F$ une fonction entre deux parties de $\mathbb{R}$. $f$ est injective si tout élément de l’ensemble d’arrivée $F$ a au plus un antécédent dans $E$. Formellement : $$ \forall x, x’ \in E, \quad f(x) = f(x’) \implies x…

Fonctions Continues sur un Intervalle Définition : Continuité sur un Intervalle Une fonction définie sur un intervalle $I$ est dite continue sur I si elle est continue en tout point de cet intervalle. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Pour tous points $a, b$ de $I$, et…

Prolongement par Continuité Soit $f$ une fonction définie sur un domaine $D_f$. Si un point $x_0$ n’appartient pas à $D_f$ mais que $f$ admet une limite finie $l$ en $x_0$, on peut « combler le trou » dans la définition de $f$. Définition : Prolongement par Continuité On définit la fonction $g$ par : $$ g(x) =…

Fonctions Continues et Continuité en un Point Définition : Continuité en un Point Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage $V$ d’un point $x_0 \in \mathbb{R}$. On dit que $f$ est continue en $x_0$ si elle admet une limite finie en ce point et si cette limite est égale à la valeur de la…