Méthodes

Le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt expliqué simplement Le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt Le procédé de Gram-Schmidt est un algorithme qui transforme n’importe quelle base d’un espace vectoriel euclidien (muni d’un produit scalaire) en une base orthonormale. L’idée est de « redresser » et de « rétrécir » les vecteurs un par un pour qu’ils soient tous perpendiculaires entre eux…

Déterminer le rang et la signature d’une forme quadratique Déterminer le rang et la signature d’une forme quadratique Après avoir réduit une forme quadratique en une somme de carrés, on peut en extraire deux informations capitales qui ne dépendent pas de la méthode de réduction choisie : le rang et la signature. Ces deux nombres…

Appliquer la réduction de Gauss à une forme quadratique Appliquer la réduction de Gauss à une forme quadratique Une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2. La réduire avec la méthode de Gauss consiste à la réécrire comme une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes. L’objectif est de transformer une expression…

Méthode pour trouver le polynôme minimal d’une matrice Méthode pour trouver le polynôme minimal d’une matrice Le polynôme minimal d’une matrice $A$ est un concept plus fin que celui de polynôme caractéristique. C’est le polynôme « le plus simple » qui annule la matrice. Il contient des informations cruciales, notamment pour déterminer si une matrice est diagonalisable….

Comment calculer l’exponentielle d’une matrice Comment calculer l’exponentielle d’une matrice ($e^A$) Tout comme l’exponentielle d’un nombre est définie par sa série de Taylor, l’exponentielle d’une matrice carrée $A$ est définie par une série de matrices : $e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \dots$ Calculer cette somme infinie semble…

Calculer la puissance d’une matrice (Aⁿ) grâce à la diagonalisation Calculer la puissance d’une matrice ($A^n$) grâce à la diagonalisation Calculer la puissance $n$-ième d’une matrice, $A^n$, peut être très fastidieux. Cependant, si la matrice $A$ est diagonalisable, il existe une méthode élégante et rapide pour obtenir une formule générale pour $A^n$. La Formule Magique…

Trigonaliser une matrice : quand et comment faire Trigonaliser une matrice : quand et comment faire Que faire lorsqu’une matrice n’est pas diagonalisable ? Tout n’est pas perdu ! La trigonalisation est un processus qui permet de transformer une matrice $A$ en une matrice triangulaire $T$ semblable à $A$. La condition pour y parvenir est…

Le test ultime pour savoir si une matrice est diagonalisable Le test ultime pour savoir si une matrice est diagonalisable Une matrice carrée $A$ est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale $D$. C’est-à-dire s’il existe une matrice inversible $P$ (appelée matrice de passage) telle que $A = PDP^{-1}$. L’intérêt est immense…

Comment trouver les vecteurs propres d’une matrice Comment trouver les vecteurs propres d’une matrice Après avoir calculé les valeurs propres $\lambda$ d’une matrice $A$, l’étape suivante consiste à trouver les vecteurs propres $v$ correspondants. Par définition, ce sont les vecteurs non nuls qui satisfont l’équation $Av = \lambda v$. Méthode : Résolution de Système Linéaire…

Comment trouver les valeurs propres d’une matrice Comment trouver les valeurs propres d’une matrice Les valeurs propres (eigenvalues) d’une matrice carrée $A$ sont des scalaires spéciaux $\lambda$ qui, associés à des vecteurs non nuls appelés vecteurs propres (eigenvectors), satisfont l’équation $Av = \lambda v$. En d’autres termes, appliquer la matrice $A$ au vecteur $v$ revient…