Trouver l’orthogonal d’un sous-espace en dualité Trouver l’Orthogonal d’un Sous-Espace en Dualité En algèbre linéaire, la dualité est une perspective qui consiste à étudier un espace vectoriel $E$ à travers l’ensemble des fonctions linéaires qui…
Comprendre la transposée d’une application linéaire Comprendre la Transposée d’une Application Linéaire Tout comme on peut transposer une matrice, on peut définir la transposée (ou l’adjointe) d’une application linéaire $f: E \to F$. Notée $f^T$…
Comment utiliser la formule de Grassmann Comment Utiliser la Formule de Grassmann La formule de Grassmann est une relation fondamentale qui relie les dimensions de deux sous-espaces vectoriels, $F$ and $G$, à celles de leur…
Trouver une base de l’image d’une application linéaire Trouver une Base de l’Image d’une Application Linéaire L’image d’une application linéaire $f: E \to F$, notée $\text{Im}(f)$, est l’ensemble de toutes les valeurs que $f$ peut…
Déterminer la base et la dimension de la somme de deux sous-espaces Déterminer la Base et la Dimension de la Somme de Deux Sous-Espaces La somme de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$, notée $F+G$,…
Comment trouver l’intersection de deux sous-espaces vectoriels Comment trouver l’intersection de deux sous-espaces vectoriels L’intersection de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$, notée $F \cap G$, est l’ensemble de tous les vecteurs qui appartiennent à…
Montrer qu’une famille de vecteurs est liée Montrer qu’une famille de vecteurs est liée Une famille de vecteurs est dite liée (ou linéairement dépendante) si au moins un des vecteurs de la famille est « redondant »,…
Déterminer une base à partir d’une famille génératrice Déterminer une base à partir d’une famille génératrice Une famille génératrice d’un sous-espace vectoriel $F$ est une collection de vecteurs qui permet de « construire » tous les autres…
Comment vérifier qu’une matrice est orthogonale Comment vérifier qu’une matrice est orthogonale Une matrice orthogonale est une matrice carrée qui représente une isométrie, c’est-à-dire une transformation qui conserve les longueurs et les angles (comme les…
Reconnaître un endomorphisme symétrique (autoadjoint) Reconnaître un endomorphisme symétrique (autoadjoint) Un endomorphisme symétrique (ou autoadjoint) est une transformation linéaire qui préserve la structure géométrique d’un espace euclidien d’une manière très spéciale. Leur propriété la plus…