Analyse

Fonctions Circulaires Réciproques : Arccosinus et Arcsinus Fonction Arc Cosinus La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $[0, \pi]$. Elle réalise donc une bijection de $[0, \pi]$ sur l’intervalle image $[-1, 1]$. Sa fonction réciproque est appelée Arc cosinus et est notée $\arccos$. Définition : Fonction Arccosinus La fonction $\arccos$ est définie…

Étude des Fonctions Circulaires Fonction Cosinus La fonction $x \mapsto \cos x$ est définie, continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. Elle est paire et périodique de période $2\pi$. De plus, la relation $\cos(\pi-x) = -\cos x$ implique une symétrie par rapport au point $(\pi/2, 0)$. Il suffit donc de l’étudier sur l’intervalle $I = [0, \pi/2]$….

Fonctions Circulaires À tout nombre réel $\theta$, on peut associer un unique point $M$ sur le cercle trigonométrique $U$ (centré à l’origine, de rayon 1) tel que l’angle orienté entre le vecteur $\vec{Ox}$ et le vecteur $\vec{OM}$ soit de mesure $\theta$. Définition : Fonctions Circulaires Les fonctions circulaires ou trigonométriques sont définies à partir des…

Fonctions Hyperboliques Réciproques Argument Cosinus Hyperbolique La fonction cosinus hyperbolique, $x \mapsto \cosh x$, est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[0, +\infty[$, à valeurs dans $[1, +\infty[$. Elle réalise donc une bijection entre ces deux intervalles. Sa fonction réciproque, notée argch, est appelée « argument cosinus hyperbolique ». Pour $x \ge 1$, posons $y = \text{argch}(x)$….

Fonctions Hyperboliques Réciproques Argument Cosinus Hyperbolique La fonction cosinus hyperbolique, $x \mapsto \cosh x$, est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[0, +\infty[$, à valeurs dans $[1, +\infty[$. Elle réalise donc une bijection entre ces deux intervalles. Sa fonction réciproque, notée argch, est appelée « argument cosinus hyperbolique ». Pour $x \ge 1$, posons $y = \text{argch}(x)$….

Fonctions Hyperboliques Définition : Fonctions Hyperboliques Les fonctions hyperboliques sont définies à partir de la fonction exponentielle : Cosinus hyperbolique : noté $\cosh$ ou $ch$, défini sur $\mathbb{R}$ par : $$ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} $$ Sinus hyperbolique : noté $\sinh$ ou $sh$, défini sur $\mathbb{R}$ par : $$ \sinh x = \frac{e^x…

Logarithmes et Exponentielles de Base a Fonction Logarithme de Base a Définition : Fonction Logarithme de Base a Soit $a$ un nombre réel strictement positif et différent de 1 ($a>0, a \neq 1$). On appelle fonction logarithme de base a, notée $\log_a$, la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par : $$ \log_a(x) = \frac{\ln x}{\ln…

Fonctions Exponentielles La fonction logarithme népérien étant une bijection de $]0, +\infty[$ vers $\mathbb{R}$, elle admet une fonction réciproque, notée $\exp$, définie sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $]0, +\infty[$. Cette fonction est appelée fonction exponentielle de base e ou, plus simplement, fonction exponentielle. On a alors la relation d’équivalence : $$ \forall x \in \mathbb{R},…

Fonction Logarithme Népérien Définition : Fonction Logarithme Népérien On appelle fonction logarithme népérien, notée $\ln$, l’unique fonction définie sur $]0, +\infty[$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ qui vérifie les deux conditions suivantes : $(\ln x)’ = \frac{1}{x}$ $\ln(1) = 0$ Propriétés Fondamentales La fonction $\ln$ vérifie les propriétés algébriques suivantes pour tous réels $a>0$, $b>0$ et…

Fonctions Puissances Définition : Fonction Puissance Entière Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On appelle fonction puissance n-ième l’application $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^n$. Cette fonction est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. Elle est paire si $n$ est pair, et impaire si $n$ est impair. Son étude se ramène donc à l’intervalle $\mathbb{R}^+$. Sa…