Théorèmes

Théorème de l’Application Conforme de Riemann Contexte : Équivalence Conforme La question centrale est : « Quels domaines du plan complexe sont ‘géométriquement équivalents’ ? » En analyse complexe, l’équivalence géométrique est capturée par la notion d’application conforme (ou biholomorphisme). Une application $f: D_1 \to D_2$ est biholomorphe si elle est holomorphe, bijective, et si sa réciproque…

Théorème de l’Application Ouverte Contexte : Applications Ouvertes En topologie, une application (ou fonction) $f: X \to Y$ est dite ouverte si l’image de tout ensemble ouvert de $X$ est un ensemble ouvert de $Y$. Un ensemble $U$ est ouvert si, pour chacun de ses points, il existe un petit disque centré en ce point…

Principe du Module Maximum Contexte : Fonctions Holomorphes et Module En analyse complexe, une fonction $f$ est holomorphe sur un domaine (un ouvert connexe) $U$ si elle est dérivable au sens complexe en chaque point de $U$. Le module d’un nombre complexe $z$, noté $|z|$, représente sa distance à l’origine dans le plan complexe. Le…

Lemme de Schwarz Contexte : Le Disque Unité Le Lemme de Schwarz est un résultat surprenant qui décrit le comportement des fonctions holomorphes qui envoient le disque unité ouvert dans lui-même, avec une contrainte supplémentaire. Le disque unité ouvert est l’ensemble $D = \{ z \in \mathbb{C} \,|\, |z| < 1 \}$. On s’intéresse à...

Théorème de Morera Contexte : Réciproque du Théorème de Cauchy Le théorème intégral de Cauchy nous dit que si une fonction $f$ est holomorphe sur un domaine simplement connexe $D$, alors son intégrale le long de n’importe quel chemin fermé (lacet) $\gamma$ dans $D$ est nulle : $\oint_\gamma f(z) dz = 0$. Le théorème de…

Théorème de Liouville Contexte : Fonctions Entières et Bornées En analyse complexe, on s’intéresse aux fonctions holomorphes (dérivables au sens complexe). Une fonction est dite entière si elle est holomorphe sur tout le plan complexe $\mathbb{C}$. Les polynômes et la fonction exponentielle en sont des exemples typiques. Une fonction $f$ est dite bornée s’il existe…

Théorème des Résidus Contexte : Singularités, Séries de Laurent et Résidus Pour comprendre le théorème des résidus, il faut d’abord définir les concepts clés de l’analyse complexe. Singularité Isolée : Un point $z_0$ est une singularité isolée d’une fonction $f$ si $f$ est holomorphe dans un voisinage de $z_0$, mais pas en $z_0$ même. Série…

Équations de Cauchy-Riemann Contexte : Dérivabilité Complexe (Holomorphie) Soit $f$ une fonction d’une variable complexe, définie sur un ouvert $U \subseteq \mathbb{C}$. On dit que $f$ est holomorphe (ou dérivable au sens complexe) en un point $z_0 \in U$ si la limite suivante existe et est finie : $$ f'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0+h)…

Théorème de Représentation de Riesz Contexte : Espaces Euclidiens et Dualité Soit $E$ un espace euclidien, c’est-à-dire un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Une forme linéaire sur $E$ est une application linéaire $\varphi: E \to \mathbb{R}$. L’espace dual de $E$, noté $E^*$, est l’ensemble de toutes les…

Théorème de Radon-Nikodym Contexte : Mesures et Continuité Absolue Pour énoncer le théorème, nous avons besoin de concepts de la théorie de la mesure. Espace mesuré : Un triplet $(X, \mathcal{A}, \mu)$ où $X$ est un ensemble, $\mathcal{A}$ une tribu (sigma-algèbre) de parties de $X$, et $\mu$ une mesure (une fonction qui assigne une « taille »…