Auteur/autrice : zu6vi

Trouver l’orthogonal d’un sous-espace en dualité Trouver l’Orthogonal d’un Sous-Espace en Dualité En algèbre linéaire, la dualité est une perspective qui consiste à étudier un espace vectoriel $E$ à travers l’ensemble des fonctions linéaires qui vont de $E$ vers son corps de scalaires $K$. Cet ensemble, appelé l’espace dual $E^*$, possède sa propre structure d’espace…

Comprendre la transposée d’une application linéaire Comprendre la Transposée d’une Application Linéaire Tout comme on peut transposer une matrice, on peut définir la transposée (ou l’adjointe) d’une application linéaire $f: E \to F$. Notée $f^T$ ou $f^*$, c’est une nouvelle application linéaire qui « va dans l’autre sens », de $F$ vers $E$, et qui est intimement…

Comment utiliser la formule de Grassmann Comment Utiliser la Formule de Grassmann La formule de Grassmann est une relation fondamentale qui relie les dimensions de deux sous-espaces vectoriels, $F$ and $G$, à celles de leur somme ($F+G$) et de leur intersection ($F \cap G$). C’est un outil puissant pour déduire une dimension manquante ou pour…

Trouver une base de l’image d’une application linéaire Trouver une Base de l’Image d’une Application Linéaire L’image d’une application linéaire $f: E \to F$, notée $\text{Im}(f)$, est l’ensemble de toutes les valeurs que $f$ peut prendre. C’est un sous-espace vectoriel de l’espace d’arrivée $F$. Trouver une base de $\text{Im}(f)$ revient à trouver une famille de…

Déterminer la base et la dimension de la somme de deux sous-espaces Déterminer la Base et la Dimension de la Somme de Deux Sous-Espaces La somme de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$, notée $F+G$, est l’ensemble de tous les vecteurs qui peuvent s’écrire comme la somme d’un vecteur de $F$ et d’un vecteur de…

Comment trouver l’intersection de deux sous-espaces vectoriels Comment trouver l’intersection de deux sous-espaces vectoriels L’intersection de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$, notée $F \cap G$, est l’ensemble de tous les vecteurs qui appartiennent à la fois à $F$ et à $G$. Le résultat de cette intersection est toujours un sous-espace vectoriel. La méthode pour…

Montrer qu’une famille de vecteurs est liée Montrer qu’une famille de vecteurs est liée Une famille de vecteurs est dite liée (ou linéairement dépendante) si au moins un des vecteurs de la famille est « redondant », c’est-à-dire qu’il peut s’écrire comme une combinaison linéaire des autres. C’est le contraire d’une famille libre. Démontrer qu’une famille est…

Déterminer une base à partir d’une famille génératrice Déterminer une base à partir d’une famille génératrice Une famille génératrice d’un sous-espace vectoriel $F$ est une collection de vecteurs qui permet de « construire » tous les autres vecteurs de $F$. Cependant, cette famille peut contenir des redondances (des vecteurs qui sont des combinaisons linéaires des autres). Pour…

Comment vérifier qu’une matrice est orthogonale Comment vérifier qu’une matrice est orthogonale Une matrice orthogonale est une matrice carrée qui représente une isométrie, c’est-à-dire une transformation qui conserve les longueurs et les angles (comme les rotations ou les réflexions). Elles sont fondamentales en géométrie, en infographie et en physique. Heureusement, il existe des critères très…

Reconnaître un endomorphisme symétrique (autoadjoint) Reconnaître un endomorphisme symétrique (autoadjoint) Un endomorphisme symétrique (ou autoadjoint) est une transformation linéaire qui préserve la structure géométrique d’un espace euclidien d’une manière très spéciale. Leur propriété la plus célèbre est qu’ils sont toujours diagonalisables dans une base orthonormale. Mais comment les identifier à coup sûr ? La Méthode…