Analyse

Limites de Fonctions et Opérations Limites Limite Finie en un Point Soient $x_0 \in \mathbb{R}$ et $f$ une fonction définie sur un voisinage de $x_0$ (sauf peut-être en $x_0$ même). On dit que $f$ a pour limite le réel $l$ au point $x_0$ si : $$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{…

Opérations sur les Fonctions Somme et Produit de Deux Fonctions Si $f$ et $g$ sont deux fonctions réelles, on définit leur somme $s=f+g$ et leur produit $p=f \times g$ par : $s(x) = f(x) + g(x)$ $p(x) = f(x) \times g(x)$ Le domaine de définition de $s$ et $p$ est l’intersection des domaines de $f$…

Parité et Périodicité des Fonctions Définition : Parité d’une Fonction Soit $f: D_f \to \mathbb{R}$ une fonction réelle. $f$ est dite paire si et seulement si pour tout $x \in D_f$, on a $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$. $f$ est dite impaire si et seulement si pour tout $x \in D_f$, on a…

Fonctions Majorées, Minorées, Bornées Définition : Comparaison de Fonctions Soient $f: D \to \mathbb{R}$ et $g: D \to \mathbb{R}$ deux fonctions définies sur le même domaine. On établit les relations d’ordre suivantes : $f \ge g$ si pour tout $x \in D$, on a $f(x) \ge g(x)$. $f \ge 0$ si pour tout $x \in…

Suites Arithmétiques et Géométriques Suites Arithmétiques Définition : Suite Arithmétique Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique s’il existe un réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n$ : $$ u_{n+1} – u_n = r $$ Le nombre réel $r$ est appelé la raison de la suite arithmétique. Propriété : Terme Général Si $(u_n)$ est…

Les Suites de Cauchy Définition : Suite de Cauchy Une suite réelle $(u_n)$ est dite de Cauchy si ses termes deviennent arbitrairement proches les uns des autres à partir d’un certain rang. Formellement : $$ \forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall p \ge q \ge n_0, \quad |u_p…

Suites Extraites et Suites Adjacentes Suites Extraites ou Sous-suites Définition : Suite Extraite Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite. On appelle suite extraite (ou sous-suite) de $(u_n)$ toute suite de la forme $(u_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$, où $\varphi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est une application strictement croissante. Remarque Si $\varphi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est une application strictement…

Opérations et Ordre sur les Suites Convergentes Opérations Élémentaires sur les Suites Convergentes Proposition : Limites et Opérations Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles. Si $(u_n)$ converge vers $l_1$ et $(v_n)$ converge vers $l_2$, alors : La suite somme $(u_n + v_n)$ converge vers $l_1 + l_2$. La suite produit $(u_n v_n)$ converge vers…

Suites Monotones Définition : Suites Monotones Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite numérique. On dit que la suite $(u_n)$ est croissante si pour tout entier $n$, $u_{n+1} \ge u_n$. On dit que la suite $(u_n)$ est décroissante si pour tout entier $n$, $u_{n+1} \le u_n$. On dit que la suite $(u_n)$ est monotone si elle…

Suite Majorée, Minorée, Bornée Définition : Suite Majorée, Minorée, Bornée Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite numérique. On dit que la suite $(u_n)$ est majorée s’il existe un réel $M$ tel que pour tout entier $n$, $u_n \le M$. On dit que la suite $(u_n)$ est minorée s’il existe un réel $m$ tel que pour…