Topologie Générale
Cette page généralise les concepts de limite et de continuité vus en Analyse Réelle à des ensembles plus abstraits. C’est un pilier de l’analyse moderne.
Espaces topologiques
- Définition d’un espace topologique
- Propriétés des ensembles ouverts
- Propriétés des ensembles fermés
- Relation entre ouverts et fermés
- Définition du voisinage d’un point
- Topologies discrète et grossière
- Axiomes de définition d’une topologie
- Stabilité par union et intersection
- Ensembles à la fois ouverts-fermés
- Topologie sur un ensemble fini
Bases de topologie
- Définition d’une base de topologie
- Topologie engendrée par une base
- Base de la topologie usuelle
- Définition d’une base de voisinages
- Lien entre base et voisinages
- Critère de reconnaissance d’une base
- Notion de prébase d’une topologie
- Voisinages dans une topologie engendrée
- Exemple de base de topologie
- Base d’une topologie produit
Intérieur, Adhérence
- Définition de l’intérieur d’une partie
- Définition de l’adhérence d’une partie
- Définition de la frontière d’une partie
- Points d’accumulation et points isolés
- Caractérisation séquentielle de l’adhérence
- Propriétés de l’intérieur et l’adhérence
- Relations entre intérieur et frontière
- Notion d’ensemble dense
- Exemple de la densité de Q
- Ensembles nulle part denses
Continuité
- Définition de la continuité topologique
- Continuité et image réciproque d’ouverts
- Définition d’un homéomorphisme
- Exemples fondamentaux d’homéomorphismes
- Propriétés topologiques invariantes
- Continuité et composition de fonctions
- Définition d’un plongement topologique
- Notion de continuité locale
- Continuité et caractérisation par fermés
- Topologies initiale et finale
Espaces séparés
- Définition d’un espace séparé
- Importance de la propriété de Hausdorff
- Unicité de la limite
- Critères pour la séparation
- Exemples d’espaces non séparés
- Les axiomes de séparation
- Parties finies en espace séparé
- Sous-espaces d’un espace séparé
- Les espaces métriques sont séparés
- Produit d’espaces de Hausdorff
La compacité
- Définition de la compacité
- Le théorème de Heine-Borel
- La propriété de Bolzano-Weierstrass
- Compacité et fonctions continues
- Image continue d’un ensemble compact
- Partie compacte dans un espace séparé
- Le théorème de Tychonoff
- Définition de la compacité séquentielle
- Parties compactes et ensembles fermés
- Applications du théorème de Baire
La connexité
- Définition d’un espace connexe
- Caractérisation des espaces non connexes
- Image continue d’un connexe
- Définition de la connexité par arcs
- Lien entre connexité et arcs
- Les composantes connexes d’un espace
- Propriétés des ensembles connexes
- Parties connexes de l’ensemble R
- Produit d’espaces connexes
- Notion d’espaces localement connexes
Espaces métriques
- Définition d’un espace métrique
- Topologie induite par une distance
- Définition des suites de Cauchy
- Définition d’un espace complet
- Le théorème des fermés emboîtés
- Distances usuelles sur R^n
- Notion d’isométrie entre espaces
- Complétion d’un espace métrique
- Caractérisation des compacts métriques
- Espace des fonctions continues
Théorèmes du point fixe
- Le théorème du point fixe de Banach
- Définition d’une application contractante
- Principe des approximations successives
- Application à la résolution d’équations
- Le théorème du point fixe de Brouwer
- Comparaison des théorèmes de point fixe
- Condition de complétude pour Banach
- Unicité du point fixe
- Applications aux équations intégrales
- Point fixe pour applications non-expansives
Espaces vectoriels normés
- Définition d’une norme vectorielle
- Distance induite par une norme
- Définition des normes équivalentes
- Équivalence des normes en dimension finie
- Complétude des EVN de dimension finie
- Géométrie des boules unités
- Définition d’un espace de Banach
- Continuité des applications linéaires
- Le théorème de Riesz
- Le dual topologique d’un EVN