Fibré tangent : construction et propriétés fondamentales Le fibré tangent est un objet central en géométrie différentielle, associant à chaque point d’une variété l’espace vectoriel de ses vecteurs tangents. Nous présentons ici sa définition rigoureuse…
Les champs de vecteurs sont des objets centraux en analyse向量ielle et en géométrie différentielle. Ils permettent de modéliser des phénomènes où une quantité vectorielle est attachée à chaque point d’un espace. Définition formelle d’un champ…
Formes différentielles Les formes différentielles sont des objets centraux en analyse et en géométrie différentielle. Elles généralisent les notions de différentielle et d’intégration sur des variétés. Définition formelle Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$. Une…
Différentielle extérieure : Définition formelle La différentielle extérieure est un opérateur fondamental en calcul sur les variétés différentiables. Elle généralise la différentielle des fonctions à des formes différentielles de tout degré. Soit $M$ une variété…
Le théorème de Stokes est un résultat fondamental de l’analyse vectorielle et de la géométrie différentielle qui généralise le théorème de Green, le théorème de la divergence et le théorème de Kelvin-Stokes. Il établit une…
Les variétés riemanniennes généralisent les notions de courbure et de distance aux espaces de dimension supérieure. Une variété riemannienne est un espace topologique localement équivalent à un espace euclidien, muni d’une structure différentielle et d’une…
Définitions formelles Un triangle hyperbolique est un triplet ordonnné de points non colinéaires du plan hyperbolique, ainsi que les trois géodésiques les joignant. Le plan hyperbolique est une variété riemannienne complète de dimension 2 de…
Les droites hyperboliques sont les géodésiques du plan hyperbolique, centrales en géométrie non euclidienne. Leur étude rigoureuse s’appuie sur des modèles conformes comme le disque de Poincaré. Définitions formelles des droites hyperboliques Modèle du disque…
Définition formelle du demi-plan de Poincaré Le demi-plan de Poincaré, noté $\mathbb{H}$, est le modèle canonique de la géométrie hyperbolique de dimension $2$. Il s’agit de l’espace métrique complet où la courbure sectionnelle vaut constamment…
Isométries hyperboliques Les isométries hyperboliques sont les transformations bijectives du plan hyperbolique qui préservent la distance hyperbolique. Nous définissons rigoureusement ces applications et établissons leur classification complète. Définitions formelles On considère le modèle de la…