Analyse

Fonctions Intégrables au Sens de Riemann Construction de l’intégrale d’une fonction bornée Définition : Fonction Intégrable au Sens de Riemann Une fonction $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ est dite intégrable au sens de Riemann sur $[a,b]$ si, pour tout $\epsilon > 0$, il existe deux fonctions en escalier $\phi$ et $\psi$ sur $[a,b]$ telles que :…

Intégrale des Fonctions en Escalier Définition : Subdivision d’un Intervalle On appelle subdivision d’un intervalle $[a, b]$, toute suite finie et strictement croissante de points $\sigma = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}$ telle que : $$ a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b $$ Le pas de la subdivision est le nombre...

Exercices Corrigés : Développement Limité Exercice 1 Calculer $e^{1/6}$ et $\ln(4/3)$ à $10^{-3}$ près. Solution 1 1. On utilise la formule de Taylor-Lagrange pour $e^x$ en 0. L’erreur est majorée par $\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}e^c$. Pour $x=1/6$, l’erreur est inférieure à $\frac{2}{(n+1)!6^{n+1}}$. On choisit $n=3$ pour que cette erreur soit inférieure à $10^{-3}$. On obtient $e^{1/6} \approx 1…

Exercices Corrigés : Dérivabilité Exercice 1 1. Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes au point $x_0$ indiqué : a) $f(x) = \begin{cases} xe^{1/x} & \text{si } x < 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \\ x^2\ln(1+1/x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$ en $x_0=0$. b) $g(x) = \begin{cases} \arctan x &…

Exercices Corrigés : Fonctions Réelles d’une Variable Réelle Exercice 1 Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : a) $f(x) = \sqrt{x^2-4x+3}$ b) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2-4x+3}$ c) $f(x) = \frac{5x+4}{x^2+3x+2}$ Solution 1 a) $D_f = ]-\infty, 1] \cup [3, +\infty[$ (le trinôme doit être positif). b) $D_f = [0, 1[ \cup ]3, +\infty[$ (le…

Exercices Corrigés : Suites de Nombres Réels Exercice 1 En utilisant la définition de la limite, montrer que : 1) $\lim_{n\to+\infty}\frac{3n-1}{2n+3}=\frac{3}{2}$ 2) $\lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}=0$ 3) $\lim_{n\to+\infty}\frac{2\ln(1+n)}{\ln n}=2$ 4) $\lim_{n\to+\infty}3^n=+\infty$ 5) $\lim_{n\to+\infty}\frac{-5n^2-2}{4n}=-\infty$ 6) $\lim_{n\to+\infty}\ln(\ln n)=+\infty$ Solution 1 1) On veut $|\frac{3n-1}{2n+3}-\frac{3}{2}| < \epsilon \iff \frac{11}{4n+6} < \epsilon \iff n > \frac{11-6\epsilon}{4\epsilon}$. Il suffit de prendre $n_\epsilon =…

Exercices Corrigés : Nombres Complexes Exercice 1 Écrire sous forme algébrique puis exponentielle les nombres complexes suivants : $z_1 = \frac{2+2\sqrt{3}i}{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}$, $z_2 = \left(\frac{\sqrt{3}+i}{8i}\right)^{2}$, $z_3 = \left[\frac{1+i-\sqrt{3}(1-i)}{1+i}\right]^{2}$, $z_4 = \frac{(1+i)^{4}}{(\sqrt{3}-i)^{3}}$. Solution 1 $z_1 = \sqrt{2} + i\frac{\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{6}}$ (Erreur dans le corrigé original, le résultat est $\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{6}}$) $z_2 = \frac{1}{32}(2-i\sqrt{3})$ (Erreur…

Exercices Corrigés : Le Corps des Nombres Réels Exercice 1 1. Montrer les inégalités suivantes : a) $|x|+|y| \le |x+y|+|x-y|$, pour tous $x, y \in \mathbb{R}$. b) $\sqrt{x+y} \le \sqrt{x}+\sqrt{y}$, pour tous $x, y \in \mathbb{R}^+$. c) $|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \sqrt{|x-y|}$, pour tous $x, y \in \mathbb{R}^+$. 2. Soit $[x]$ la partie entière de $x$. Montrer…

Chapitre 7 : Courbes Paramétrées Définition Définition : Courbe Paramétrée Soient $f$ et $g$ deux applications définies sur un même sous-ensemble $I$ de $\mathbb{R}$. Lorsque la variable $t$ parcourt $I$, le point $M(t)$ de coordonnées $(f(t), g(t))$ décrit un sous-ensemble $(C)$ du plan. L’ensemble $(C)$ est appelé une courbe plane. L’application $M: t \mapsto M(t)$…

Calcul des Coefficients d’une Décomposition par les Développements Limités Lors de la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle, le calcul des coefficients peut parfois être laborieux. Les développements limités offrent une méthode efficace pour déterminer la partie polaire associée à un pôle, en particulier le pôle 0. Exemple 1 Décomposons la fraction rationnelle $F(X)…