Calcul Différentiel et Intégral
La suite naturelle de l’Analyse Réelle, en étendant les concepts aux fonctions de Rⁿ dans Rᵖ.
Topologie de Rⁿ
- Normes et distances sur Rⁿ
- Équivalence des normes en Rⁿ
- Suites convergentes dans Rⁿ
- Ensembles ouverts et fermés de Rⁿ
- Propriétés des ensembles ouverts
- Intérieur, adhérence et frontière
- Définition des parties compactes
- Le théorème de Borel-Lebesgue
- Définition des parties connexes
- Connexité par arcs dans Rⁿ
Limites et continuité
- Introduction aux fonctions vectorielles
- Domaine de définition et graphe
- Notion de limite d’une fonction
- Techniques de calcul de limites
- Définition de la continuité
- Étude de la continuité locale
- Opérations sur les fonctions continues
- Continuité des fonctions partielles
- Lien entre limite et continuité
- Image d’un compact par continuité
Dérivées partielles et différentielle
- Définition des dérivées partielles
- Calcul des dérivées partielles
- Fonctions de classe C¹
- Définition de la différentielle
- La matrice jacobienne
- Différentiabilité et fonctions composées
- Relation entre différentiabilité et continuité
- Dérivée selon un vecteur
- Interprétation géométrique : plan tangent
- Approximation affine d’une fonction
Gradient, divergence et rotationnel
- Définition du vecteur gradient
- Interprétation géométrique du gradient
- Relation entre gradient et dérivée
- Définition d’un champ de vecteurs
- Opérateur divergence d’un champ
- Opérateur rotationnel d’un champ
- Propriétés des opérateurs différentiels
- Champ de gradient (potentiel scalaire)
- Champ à divergence nulle
- Champ irrotationnel (potentiel vecteur)
Dérivées d’ordre supérieur
- Dérivées partielles d’ordre supérieur
- Définition des fonctions de classe Cᵏ
- Le théorème de Schwarz
- Application du théorème de Schwarz
- La matrice Hessienne d’une fonction
- Différentielles d’ordre supérieur
- Formule de composition des différentielles
- Définition de l’opérateur Laplacien
- Notion de fonctions harmoniques
- Égalité des dérivées croisées
Formule de Taylor et extrema
- La formule de Taylor-Young
- Développement limité à l’ordre deux
- Définition des extrema locaux
- Condition nécessaire pour un extremum
- Définition des points critiques
- Nature des points critiques
- Utilisation de la matrice Hessienne
- Conditions suffisantes pour les extrema
- Étude des points cols (selles)
- Recherche des extrema globaux
Optimisation sous contraintes
- Problème d’optimisation avec contraintes
- Méthode des multiplicateurs de Lagrange
- Interprétation géométrique de la méthode
- La fonction Lagrangien
- Recherche des points critiques
- Conditions nécessaires du premier ordre
- Cas de plusieurs contraintes
- Application à l’optimisation géométrique
- Extrema liés et fonctions implicites
- Conditions suffisantes du second ordre
Fonctions implicites et inversion
- Le théorème des fonctions implicites
- Définition locale d’une fonction
- Conditions d’application du théorème
- Dérivée de la fonction implicite
- Le théorème d’inversion locale
- Condition pour une inversion locale
- Différentielle de la fonction réciproque
- Notion de difféomorphisme local
- Applications géométriques des théorèmes
- Paramétrisation locale des courbes
Intégrales multiples
- Définition de l’intégrale double
- Le théorème de Fubini
- Calcul sur un domaine rectangulaire
- Intégration sur des domaines généraux
- Propriétés de l’intégrale multiple
- Définition de l’intégrale triple
- Le théorème de Fubini en 3D
- Calcul d’intégrales triples itérées
- Applications physiques des intégrales
- Centre de masse et inertie
Calcul d’aires et de volumes
- Calcul d’aires par intégrale double
- Aire d’un domaine du plan
- Calcul de volumes par intégrale double
- Volume d’un solide sous une surface
- Calcul de volumes par intégrale triple
- Volume d’un solide de l’espace
- Exemples de calculs d’aires
- Exemples de calculs de volumes
- Aire d’une surface paramétrée
- Application à la géométrie différentielle
Changement de variables
- Formule du changement de variables
- Le déterminant jacobien
- Passage en coordonnées polaires
- Application des coordonnées polaires
- Passage en coordonnées cylindriques
- Application des coordonnées cylindriques
- Passage en coordonnées sphériques
- Application des coordonnées sphériques
- Application aux calculs de volumes
- Choix du système de coordonnées
Intégrales curvilignes et de surface
- Définition de l’intégrale curviligne
- Paramétrisation d’un arc de courbe
- Intégration d’un champ scalaire
- Circulation d’un champ de vecteurs
- Indépendance du chemin d’intégration
- Définition de l’intégrale de surface
- Paramétrisation d’une nappe de surface
- Intégration d’une fonction sur une surface
- Flux d’un champ de vecteurs
- Orientation d’une surface
Théorèmes d’analyse vectorielle
- La formule de Green-Riemann
- Application de la formule de Green
- Le théorème de Stokes
- Interprétation physique du rotationnel
- Application du théorème de Stokes
- Le théorème de flux-divergence
- Théorème de Green-Ostrogradsky
- Interprétation physique de la divergence
- Formulation générale du théorème de Stokes
- Lien entre les trois théorèmes